为何这样取值就可以得出参数的范围？原理是什么？

hjfmhh

已知函数 $f(x)=\sin x+x^2+a x, a \in \mathbf{R}$ ．
（2）若 $f(x)+a \cos x+1 \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
（2）令 $g(x)=\sin x+x^2+a x+a \cos x+1,\left\{\begin{array}{l}g(0)=a+1 \geq 0 \\ g\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi^2}{4}-\frac{a \pi}{2} \geq 0\end{array}\right.$ ，则 $-1 \leq a \leq \frac{\pi}{2}$ ．取值的缘由
下面证明当 $-1 \leq a \leq \frac{\pi}{2}$ 时，$g(x) \geq 0$ ．
由于 $g^{\prime}(x)=\cos x+2 x+a-a \sin x, g^{\prime \prime}(x)=2-(a \cos x+\sin x)=2-\sqrt{a^2+1} \sin (x+\varphi)$ ，其中 $\tan \varphi=a$ ．
由于 $-1 \leq a \leq \frac{\pi}{2}, a^2+1<4, g^{\prime \prime}(x)>0$ 恒成立，$g^{\prime}(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增．
由于 $g^{\prime}(0)=a+1 \geq 0, g^{\prime}\left(-\frac{\pi}{2}\right)=2 a-\pi \leq 0$ ，则存在实数 $x_0 \in\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right]$ ，使得 $g^{\prime}\left(x_0\right)=\cos x_0+2 x_0+a-a \sin x_0=0, g(x)$ 在 $\left(-\infty, x_0\right)$ 递减，在 $\left(x_0,+\infty\right)$ 递增，$g(x)_{\text {min }}=g\left(x_0\right)=\sin x_0+x_0^2+a x_0+a \cos x_0+1=\sin x_0+x_0^2+1-\frac{\left(x_0+\cos x_0\right)\left(2 x_0+\cos x_0\right)}{1-\sin x_0}=-\frac{x_0\left(x_0+x_0 \sin x_0+3 \cos x_0\right)}{1-\sin x_0}$

令 $h(x)=x+x \sin x+3 \cos x$ ，其中 $x \in\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right]$ ，则 $h^{\prime}(x)=1+x \cos x-2 \sin x$ ，
由于 $h^{\prime \prime}(x)=-x \sin x-\cos x \leq 0$ 在 $x \in\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right]$ 恒成立，则 $h^{\prime}(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right]$ 单调递减，而 $h^{\prime}(0)=1>0$ ，则 $h^{\prime}(x) \geq h^{\prime}(0)$ 在 $x \in\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right]$ 恒成立，$h(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right]$ 单调递增，$h(x) \geq h\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0 x \in\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right]$ 恒成立，从而 $g\left(x_0\right) \geq 0$ 恒成立．

综上，$-1 \leq a \leq \frac{\pi}{2}$．

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已知实数 $a \neq 0$，设函数 $f(x)=a \ln x+\sqrt{1+x}, x>0$．
（1）当 $a=-\frac{3}{4}$ 时，求函数 $f(x)$ 单调区间；
（2）对任意 $x \in\left[\frac{1}{e^2},+\infty\right)$ 均有 $f(x) \leq \frac{\sqrt{x}}{2 a}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
（2）由 $f(1) \leq \frac{1}{2 a}$，得 $0<a \leq \frac{\sqrt{2}}{4}$．
当 $0<a \leq \frac{\sqrt{2}}{4}$ 时，$f(x) \leq \frac{\sqrt{x}}{2 a}$ 等价于 $\frac{\sqrt{x}}{a^2}-\frac{2 \sqrt{1+x}}{a}-2 \ln x \geq 0$．
取值 $f(1)$ 的原因？为何只取这些值就可以得出参数的范围？取其他值就不行？取值的原理是什么？

kuing

第一个：
`g(x)=\sin x+x^2+ax+a\cos x+1`，联立 `\led g(x)&=0\\g'(x)&=0\endled` 消 `a` 可得 `x(x+x\sin x+3\cos x)=0`，除 `x=0` 外，可观察出当 `x=-\pi/2` 时恰好 `x+x\sin x+3\cos x=0`，所以就取这两个点。

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第二个：
换元 `\sqrt x\to x`，令 `g(x)=2a\ln x+\sqrt{1+x^2}-\frac x{2a}`，那么 `x=1`, `a=\sqrt2/4` 同样是 `\led g(x)&=0\\g'(x)&=0\endled` 的解。
当然这个不像第一个那么容易算，消元不可行，只能靠观察和猜。
通常要么猜端点，要么猜特殊值，反正题目敢这么出，大概率存在特殊点有解，大胆是猜就是了。
（因为一般都涉及超越方程，如果数据没凑过，极可能无解析解（同构型或许会例外））

这些都属于网上流行说的“必要性探路”吧，反正是应试技巧的一种。

hjfmhh

kuing 发表于 2025-4-19 15:00
第一个：
`g(x)=\sin x+x^2+ax+a\cos x+1`，联立 `\led g(x)&=0\\g'(x)&=0\endled` 消 `a` 可得 `x(x+x\sin ...

为啥是原函数和导函数等于零？这个猜根有什么技巧吗？谢谢

hjfmhh

kuing 发表于 2025-4-19 15:00
第一个：
`g(x)=\sin x+x^2+ax+a\cos x+1`，联立 `\led g(x)&=0\\g'(x)&=0\endled` 消 `a` 可得 `x(x+x\sin ...

x+xsinx+3cosx的零点不止-pi/2,为什么就娶她呢