已知$a^2+b^3=c^4$，a,b,c均为正整数，求c的最小值。

走走看看

据说这是一道浙江的初中竞赛题。
看视频中的解答，觉得没有道理。

视频中把$b^2$配给$c^2+a$，$b$配给了$c^2-a$。
$b^3$分解为$\frac{b^2}{2}·2b$，难道不可以吗？还有无数种的乘积形式。

走走看看

这里给了个解答，似乎有理，但它没有论证b是奇数的情况。

zhidao.baidu.com/question/211218135.html

走走看看

我看网上有人给出了两个答案。

C最小为6：
$28^2+8^3=784+512=1296=6^4$

再其次C=9
$27^2+18^3=729+5832=6561=9^4$

还有人用Mathematica软件求出第三个解是
$63^2+36^3=3969+46656=50625=15^4$

据运算者说，再往下算不出第四个。
第二个、第三个不是根据第一个的方式来算的，估计都是用电脑程序得到的。

它们都有一个共同特征：b是偶数。

那么问题来了：为什么b必须是偶数呢？

走走看看

对照2楼图片和3楼数据，发现即使承认b是偶数，2楼的结论也是与3楼数据不相符的。2楼图片断定$b=2^n$，但第二组、第三组的b都不是$2^n$。

一句话，要达到严谨的程度，很难。

Aluminiumor

事实上，编程容易得出很多组解。
以下列出前 $5$ 组：
$a=28, b=8, c=6\quad (28^2 + 8^3 = 784 + 512 = 1296 = 6^4)$
$a=27, b=18, c=9\quad (27^2 + 18^3 = 729 + 5832 = 6561 = 9^4)$
$a=63, b=36, c=15\quad (63^2 + 36^3 = 3969 + 46656 = 50625 = 15^4)$
$a=1176, b=49, c=35\quad (1176^2 + 49^3 = 1382976 + 117649 = 1500625 = 35^4)$
$a=648, b=108, c=36\quad (648^2 + 108^3 = 419904 + 1259712 = 1679616 = 36^4)$
由第 $4$ 组解可知，$b$ 也可以是奇数。

走走看看

分析一下a，b，c的关系，分别得到：
$c^2+a=b^2$，$c^2-a=b$

$c^2+a=\frac{b^2}{3}$，$c^2-a=3b$

$c^2+a=\frac{2b^2}{9}$，$c^2-a=\frac{9b}{2}$

$c^2+a=b^2$，$c^2-a=b$

$c^2+a=\frac{b^2}{6}$，$c^2-a=6b$