构造问题：三角形

力工

已知斜$\triangle ABC$的外接圆半径为$R$，三内角所对的边分别为$a,b,c$，请大佬们帮忙构造出这样的$\triangle ABC$使$a\cdot a+b\cdot b=c\cdot 2R$(托勒密).

kuing

小建议：外接圆半径建议用大写 `R` 😁（小写通常表示内切圆

相当于构造 `\sin^2A+\sin^2B=\sin C` 且不是直角三角形。

当 `C` 为锐角时：
令 `A\to0`, `B\to180\du-C`，则 `\LHS\to\sin^2C<\RHS`；
令 `A=90\du`, `B=90\du-C`，则 `\LHS>1>\RHS`。
所以对于任意锐角 `C` 都必存在斜 `\triangle ABC` 使 `\LHS=\RHS`。

随便取一个算下试试，比如让 `C=45\du`，代入后化简得 `\sin(45\du-2A)=\sqrt2-1`，得 `A=22.5\du-0.5\arcsin\bigl(\sqrt2-1\bigr)`。

1+1=？

若 $\sin^2 A+\sin^2 B=\sin C$，求证$$c^2=\frac{(a^2-b^2)^2(a^2+b^2)}{a^4+6 a^2 b^2+b^4}$$

kuing

化边的话，用秦九韶公式
\begin{gather*}
a^2+b^2=2Rc=\frac{abc^2}{2S},\\
4S^2=\left(\frac{abc^2}{a^2+b^2}\right)^2,\\
a^2b^2-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}2\right)^2=\frac{a^2b^2c^4}{(a^2+b^2)^2},\\
\frac{a^2b^2\bigl((a^2+b^2)^2-c^4\bigr)}{(a^2+b^2)^2}-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}2\right)^2=0,\\
(a^2+b^2-c^2)\left(\frac{a^2b^2(a^2+b^2+c^2)}{(a^2+b^2)^2}-\frac{a^2+b^2-c^2}4\right)=0,\\
(a^2+b^2-c^2)\frac{(a^4+6a^2b^2+b^4)c^2-(a^2+b^2)(a^2-b^2)^2}{4(a^2+b^2)^2}=0.
\end{gather*}