一道立体几何是不是有问题

hjfmhh

四棱锥 $P-A B C D$ 中，侧面 $P A D$ 为等腰直角三角形，底面 $A B C D$为矩形，$A B \perp P D, P A=P D=\sqrt{2}$ ，若该四棱锥存在内切球，且其内切球球心为 $O_1$ ，其外接球球心为 $O_2$ ，则下列结论正确的是（ ）
A．平面 $P A D \perp$ 平面 $A B C D$
B．四棱锥 $P-A B C D$的内切球半径为 $\sqrt{2}-1$
C．四棱锥 $P-A B C D$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$
D．$O_1 O_2^2=4-2 \sqrt{2}$

我开始想到求内切球半径是用等体积法，但求出的内切球半径与所给答案不一致

Aluminiumor

那就说明这个四棱锥不存在内切球

hjfmhh

Aluminiumor 发表于 2025-5-19 09:31
那就说明这个四棱锥不存在内切球

不投影怎么求内切球半径，等体积法可以吗？

Aluminiumor

hjfmhh 发表于 2025-5-19 10:11
不投影怎么求内切球半径，等体积法可以吗？

你把你等体积法的过程发出来，我看看是哪里出问题了

hjfmhh

Aluminiumor 发表于 2025-5-19 10:22
你把你等体积法的过程发出来，我看看是哪里出问题了

x不知道怎么求
内心位置怎么确定？

Aluminiumor

我开始想到求内切球半径是用等体积法，但求出的内切球半径与所给答案不一致

你一开始说的是求出半径与答案不一致……现在说是求不出……

如果仅仅使用等体积法确实求不出，你还需要找到一个 $x$ 与 $r$ 的约束，比如说 $\triangle{PEF}$ 的内切圆半径为 $r$，但这也可以说是“投影法”。所以最好的办法还是像答案那样做。

Aluminiumor

hjfmhh 点评
谢谢，内切球球心位置确定有没有什么好的方法？

好的方法不知道，我提供一个简单粗暴的方法：

求出多面体各面所在的平面方程；
设球心 $(x_0,y_0,z_0)$，内切球半径 $r$；
列出球心到各平面距离为 $r$ 的方程组，求解.

例如此题：
设 $D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,t,0),C(0,t,0),D(1,0,1)$ 则
平面 $PAD:y=0$
平面 $PAB:x+z-2=0$
平面 $PCD:x-z=0$
平面 $PBC:y+tz-t=0$
平面 $ABCD:z=0$
设球心 $(x_0,y_0,z_0)$
$$\Longrightarrow\frac{\abs{y_0}}{1}=\frac{\abs{x_0+z_0-2}}{\sqrt{2}}=\frac{\abs{x_0-z_0}}{\sqrt{2}}=\frac{\abs{y_0+tz_0-t}}{\sqrt{1+t^2}}=\frac{\abs{z_0}}{1}=r$$
解得 $x_0=1,y_0=z_0=\sqrt{2}-1,r=\sqrt{2}-1,t=2\sqrt{2}$

hjfmhh

Aluminiumor 发表于 2025-5-19 11:07
你一开始说的是求出半径与答案不一致……现在说是求不出……

如果仅仅使用等体积法确实求不出，你还需要 ...

为什么这样解不出来