点面距，判断面的个数

力工

正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱长为1，$E,F$分别为棱$B_1C_1,AD$(含端点)上的动点，
记点$B,D_1$到过$C,E,F$的平面$\alpha$的距离分别为$d_1,d_2$.
则分别满足(1)$d_1+d_2=\sqrt{2}$,
(2)$d_1+d_2=\sqrt{3}$,
(3)$d_1-d_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
(4)$2d_1+d_2=\sqrt{6}$的平面$\alpha$有几个？

hbghlyj

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hbghlyj

设立方体各顶点坐标如下：
\(A(0,0,0)\)，\(B(1,0,0)\)，\(C(1,1,0)\)，\(D(0,1,0)\)，
\(A_{1}(0,0,1)\)，\(B_{1}(1,0,1)\)，\(C_{1}(1,1,1)\)，\(D_{1}(0,1,1)\)。

点 \(E\) 和 \(F\) 的坐标可表示为：
\(E(1,t,1)\)，其中 \(t\in [0,1]\)
\(F(0,s,0)\)，其中 \(s\in [0,1]\)

过 \(C(1,1,0)\)、\(E(1,t,1)\)、\(F(0,s,0)\) 的平面法向量 \(\vec{n}\) 可通过 \(\vec{CE}\) 和 \(\vec{CF}\) 的叉积得到：
\(\vec{CE}=(0,t-1,1)\)
\(\vec{CF}=(-1,s-1,0)\)
\(\vec{n}=\vec{CE}\times \vec{CF}=(1-s,-1,t-1)\)

平面方程为 \((1-s)x-y+(t-1)z+d=0\)。
代入 \(C(1,1,0)\) 得 \((1-s)-1+d=0\)，即 \(d=s\)。

所以平面方程为 \((1-s)x-y+(t-1)z+s=0\)。

点 \(B(1,0,0)\) 到该平面的距离为
\(d_{1}=\frac{|(1-s)-0+0+s|}{\sqrt{(1-s)^{2}+1+(1-t)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{(1-s)^{2}+1+(1-t)^{2}}}\)

点 \(D_{1}(0,1,1)\) 到该平面的距离为
\(d_{2}=\frac{|0-1+(t-1)+s|}{\sqrt{(1-s)^{2}+1+(1-t)^{2}}}=\frac{|s+t-2|}{\sqrt{(1-s)^{2}+1+(1-t)^{2}}}\)

令 \(k=\sqrt{(1-s)^{2}+1+(1-t)^{2}}\)

• \(d_{1}+d_{2}=\frac{1+|s-t-2|}{k}=\sqrt{2}\)
  无穷多$(s,t)$
• \(d_{1}+d_{2}=\frac{1+|s-t-2|}{k}=\sqrt{3}\)
  $(s,t)=(0,0)$
• \(d_{1}-d_{2}=\frac{1-|s-t-2|}{k}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
  无穷多$(s,t)$
• \(2d_{1}+d_{2}=\frac{2+|s-t-2|}{k}=\sqrt{6}\)
  无$(s,t)$

力工

hbghlyj 发表于 2025-6-6 13:36
设立方体各顶点坐标如下：
\(A(0,0,0)\)，\(B(1,0,0)\)，\(C(1,1,0)\)，\(D(0,1,0)\)，
\(A_{1}(0,0,1)\)， ...

大佬们来个几何法吧。还没学坐标法。