正方体截面的最值论证

山川浮云

如何求证正方体截面的面积和周长的最大值.

山川浮云

按边数进行讨论，挺复杂的，有无简便方法或更高级的思路

hbghlyj

设 $n=(\alpha,\beta,\gamma)$ 为单位法向量。  
把 $1=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ 写成  
$(\alpha^2+\beta^2) + (\beta^2+\gamma^2) + (\gamma^2+\alpha^2) = 2$.

如果三对平方和都 $< 1/2$，三项相加就 $< 3/2$，与右端的 $2$ 矛盾。  
因此必有一对（比如 $\alpha^2+\beta^2$）满足
\[\alpha^2 + \beta^2 \geq 1/2. \tag{$\star$}\]
我们就在后面选用这两个坐标轴做投影。

还是以棱长 $2$ 的正方体 $C=[-1,1]^3$ 为例。  
令截平面方程为 $\alpha x+\beta y+\gamma z=\delta$，通过变形写成
\[z = (\delta - \alpha x - \beta y)/\gamma. \quad \text{(若 $\gamma=0$，显然 $\alpha,\beta$ 这对已经满足 ($\star$))}\]
把截面在 $xy$–平面中的投影记为 $D$。  
它被以下条件限制：
\begin{align*}
  |x| &\leq 1 \\
  |y| &\leq 1 \\
  -1 &\leq (\delta - \alpha x - \beta y)/\gamma \leq 1.
\end{align*}
对给定的 $(x,y)$，第三个不等式给 $z$ 留出的余量不超过 $2/|\gamma|$，  
而 $z$ 必须落在 $[-1,1]$ 之内，所以 $(x,y)$ 的可行区域  
其"厚度"至多是 $2/|\gamma|$。

现在我们把 $(x,y)$ 看成落在一个以 $\alpha x+\beta y$ 为坐标的方向上长度 $2/|\gamma|$ 的条形带里，  
再配合 ($\star$) 中 $\alpha^2+\beta^2 \geq 1/2$ 得到
\[\text{带的宽度} \leq 2/\sqrt{\alpha^2+\beta^2} \leq 2\sqrt{2}.\]
于是投影区域 $D$ 被卡在一条 "长 $\leq 2/|\gamma|$、宽 $\leq 2\sqrt{2}$" 的矩形里，
故 $\text{area}(D) \leq (2/|\gamma|)\cdot(2\sqrt{2})=4\sqrt{2}/|\gamma|$。

截面积 $S$ 与其在 $xy$–平面的投影面积之间的关系为
\begin{align*}
  S &= \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} \cdot \text{area}(D) \\
    &= \sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}/|\gamma| \cdot \text{area}(D) \\
    &= 1/|\gamma| \cdot \text{area}(D).
\end{align*}
于是
\begin{align*}
  S &\leq 1/|\gamma| \cdot (4\sqrt{2}/|\gamma|) \\
    &= 4\sqrt{2} / \gamma^2.
\end{align*}
但 $\alpha^2+\beta^2 \geq 1/2 \Rightarrow \gamma^2 = 1-(\alpha^2+\beta^2) \leq 1-1/2 = 1/2$，  
即 $|\gamma|^2 \leq 1/2 \Rightarrow 1/\gamma^2 \geq 2$.
于是最终得到
\[S \leq 4\sqrt{2} \times 2 = 8\sqrt{2}, \quad \text{（棱长 $2$ 的情形）}\]
换回一般棱长 $a(=2k)$ 时面积按 $k^2$ 缩放，即
\[S_{max} \leq 8\sqrt{2}\cdot(a/2)^2 = \sqrt{2} a^2.\]
另一方面，用平面 $x+y=0$ 截正方体确实得到
长 $2$ 的边、宽 $2\sqrt{2}$ 的矩形，面积正是 $\sqrt{2} a^2$，  
说明这个上界可以达到。