截面周长最大值

Tesla35

第6题，选项D的最大值是多少？


码字 by kuing：
6. 在棱长为 2 的正方体 `ABCD`-`A_1B_1C_1D_1` 中，`M` 为棱 `AA_1` 上的动点（含端点），则下列说法正确的是
A....    B....
C....
D. 若 `C_1M\perp\text{平面}~\alpha`，则平面 `\alpha` 截该正方体的截面图形的周长最大值为 `6\sqrt2`

kuing

当平面扫过正方体时，截面形状的变化是：三角形 -> 等腰梯形 -> 六边形 -> 等腰梯形 -> 三角形

先看中间的六边形的情形，如下图：

设平面与 `AB` 交于 `K`，则 `K` 在直线 `HG` 上。

当 `M` 固定，平移平面时：

易知 `HK` 为定值，易证 `GF=GK`，则 `FG+GH=KG+GH=KH` 为定值，同理 `EJ+JI` 为定值。

易知 `A_1`, `C` 两点到平面的距离之和为定值，可得 `\Rtt A_1HI` 和 `\Rtt CEF` 这俩等腰直角三角形的斜边上的高之和为定值，所以 `HI+EF` 为定值。

综上所述，当 `M` 固定，平移平面时，对于截面为六边形的阶段，周长是不变的。

而当继续平移至截面变成等腰梯形后，显然两腰不变而上下底均减少，而变成三角形的就更小了。

所以要计算最大值只需考虑由六边形刚变成等腰梯形那一瞬间的大小即可，如下图：

此时就可以让 `M` 动起来，设 `B_1H=x\in[0,2]`，则周长为 `2\sqrt2+\sqrt2(2-x)+2\sqrt{x^2+4}`，易证它关于 `x` 递减，所以当 `x=0`，即 `M` 在 `A_1` 处，截面为对角面 `BDD_1B_1` 时周长最大，为 `4+4\sqrt2`。

kuing

此题限制了平面一个的方向（总垂直于对角面 `AA_1C_1C`），有了对称性，问题相对简单。

其实我猜想：即便对截面不作任何限制，任它截，最大的周长还是对角面。

证明有待研究……

Tesla35

懂了😁😀