2018年全国卷I理科第12题 平面截正方体与棱成角均相同

isee

第一眼看过去，想到体对角面但不符合题设，难道是截出个正六边形？嘿，还真有这个结果，猜A先。


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12．已知正方体的棱长为$1$，每条棱所在直线与平面$\alpha$所成的角相等，则$\alpha$截此正方体所得截面面积的最大值为
选项略

kuing

嗯，中间时最大
这也算是简单题了，因为就算不会证也会猜

isee

回复 2# kuing


我信你的直觉，

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2019年5月15号更新

2018年全国1卷理科数学第12题详细解析

2018高考数学全国卷I,第12题

kuing

回复 3# isee

印象中，六边形那个过程中，周长好像是不变的，如果没记错，那么可不可以说由等周定理得出正六边形时最大

isee

回复 4# kuing

否则，极麻烦。

乌贼

平面$a$必与对角棱垂直，当截面为正六边形时\[S=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\]

isee

回复 4# kuing

可能这就是题中各棱与面的成角的用法：对称拉直。

Tesla35

zhuanlan.zhihu.com/p/37822112

isee

回复 6# 乌贼


看了这图，也就是说平面$ACD'$是满足题设的一个平面，然后将此平面平移。
平移过程设变量，就可求出面积最大值。

那么，如何肯定这样的平面仅有这样的一类呢（棱与面成角为x度）？

乌贼

回复 9# isee
选择题可以这样作

lemondian

回复 4# kuing
六边形的周长恒等于正三角形的周长，请问如何用等周定理说明是正六边形时面积最大？@kuing,isee等

hbghlyj

isee 发表于 2018-6-7 14:34
回复 2# kuing
2018 年全国 1 卷理科数学第 12 题详细解析

【12】已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 $\alpha$ 所成的角都相等，则 $\alpha$ 截此正方体所得的截面面积的最大值为 $3\sqrt3\over4$.
解析：考虑到平行关系，只需共顶点的三条棱与平面 $\alpha$ 所成的角相等即可满足条件，如平面 $BC ' A '$，当截面沿向量 $\vv{B ' D}$ 方向平行移动时，截面为六边形，如图所示，设 $BE = x,(0\le x\le 1)$，则正三角形 $KLM$ 边长为 $\sqrt2(1+x)$，正三角形 $EKF$ 边长为 $\sqrt2 x$，故截面面积为：$$\frac{\sqrt{3}}{4}\left[\sqrt{2}(1+x)\right]^{2}-3\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\sqrt2x\right)^{2}=\frac{\sqrt3}2 (-2 x^2 + 2 x + 1)$$
所以当 $x=\frac12$ 时截面面积取得最大值 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$.