四条一般位置的直线有两条横截线

hbghlyj

计算三维射影空间 ℙ³ 中四条一般位置的直线的横截线数量。横截线是一条与所有给定直线相交的直线。

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arxiv.org/html/2504.00889v1#S4.SS2
表示直线：将四条直线表示为 ℙ³ 中两点的连接。例如，设第一条直线为 ℓ₁ = a · b，其中 a 和 b 是 ℙ³ 中的两点。类似地，定义其他三条直线：

1. ℓ₂ = c · d
2. ℓ₃ = e · f
3. ℓ₄ = g · h

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在 Macaulay2 中，使用 Brackets 包初始化 Grassmann-Cayley 代数，并设置系数环为 ℚ[λ, μ]：

1. needsPackage "Brackets"
2. G = gc(toList(a..h), 4, CoefficientRing => QQ[l,m])
3. ell1 = (a*b)_G
4. ell2 = (c*d)_G
5. ell3 = (e*f)_G
6. ell4 = (g*h)_G

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参数化交点：假设横截线 ℓ 与 ℓ₁ 相交于点 p，p 可表示为 p = λa + μb，其中 λ + μ = 1

1. p = (l*a + m*b)_G

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构造平面：由于横截线也与 ℓ₂ 相交，定义平面 V = p · ℓ₂。因为 ℓ 经过 p 且与 ℓ₂ 相交，ℓ 包含在平面 V 中。

计算交点 q：平面 V 与一般直线 ℓ₃ 相交于一点 q = V ∧ ℓ₃。由于横截线 ℓ 也在 V 中且与 ℓ₃ 相交，q 是 ℓ 与 ℓ₃ 的交点。因此，候选横截线可表示为 ℓ = q · p = ((p · ℓ₂) ∧ ℓ₃) · p：

1. ell = ((p * ell2) ^ ell3) * p

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验证与 ℓ₄ 的相交：为使 ℓ 成为横截线，它必须与 ℓ₄ 相交，即表达式 ℓ * ℓ₄ 必须为零。计算此表达式：

1. formula = ell * ell4

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结果是一个关于 λ 和 μ 的二次方程，系数为点的括号多项式：

1. m^2*[bdef]*[bcgh] - 2*m^2*[bdgh]*[bcef] - 2*l*m*[bcef]*[adgh] + l*m*[bcgh]*[adef] + l*m*[bdef]*[acgh] + l^2*[adef]*[acgh] - 2*l*m*[bdgh]*[acef] - 2*l^2*[adgh]*[acef]

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判别式分析：将上述公式视为 λ 和 μ 的二次方程（满足 λ + μ = 1），横截线的数量等于该二次方程的根的数量。为此，提取 λ²、λμ 和 μ² 的系数，并计算判别式：

1. (m, c) = coefficients formula;
2. disc = c_(2,0) * c_(0,0) - 4 * c_(1,0)

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判别式为：

1. [bdef]*[bcgh]*[adef]*[acgh] - 2*[bdgh]*[bcef]*[adef]*[acgh] - 2*[bdef]*[bcgh]*[adgh]*[acef] + 4*[bdgh]*[bcef]*[adgh]*[acef] + 8*[bcef]*[adgh] - 4*[bcgh]*[adef] - 4*[bdef]*[acgh] + 8*[bdgh]*[acef]

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对于一般位置的直线，判别式通常非零，表明二次方程有两个不同根，因此存在两条横截线。

特殊情况：

若判别式为零，则二次方程有一个根，表明只有一条横截线。
若 λ 和 μ 的所有系数（三个括号多项式）均为零，则有无穷多条横截线。