一道三棱锥旋转问题

hjfmhh

已知三棱锥 P-ABC 的棱长均为 1，$B C \subset$ 平面 $\alpha$，$E$ 为 $P B$ 中点，$l \perp \alpha$．记 $l$ 和直线 $A E$ 所成角为 $\theta$，则该三棱锥绕 $B C$ 旋转的过程中，$\sin \theta$ 的最小值是

乌贼

先旋转三棱锥，再固定三棱锥后将$ AE $正投影到过直线$ l $且垂直$ BC $的平面$ \beta  $上，得上图。然后同时旋转平面$ \alpha  $及直线$ l $。那么$ FM $($ F $为$ AN $中点)与平面$ \beta  $上过点$ M $的直线所成的角即为$ \theta  $。有\[ \sin \theta_\min=\dfrac{FN}{FM}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}  \]

hjfmhh

乌贼 发表于 2025-6-22 01:04
先旋转三棱锥，再固定三棱锥后将$ AE $正投影到过直线$ l $且垂直$ BC $的平面$ \beta  $上，得上图。然后 ...

让平面旋转，取BC中点M,直线l的轨迹就是平面PAM,转化为AE与平面PAM所成角最小，即线面角。