拟柱体的体积

hbghlyj

Prismatoid 是一种多面体，其所有顶点都位于两个平行平面之一。两个平面间的垂直距离称为高度。位于平行平面上的面称为底面。中截面是平行于底面、位于高度中间的截面。prismatoid 不必是凸的。
jstor.org/stable/2320427
有些定义要求侧面为三角形或梯形，但这其实是自动满足的，因为顶点分布决定了侧面形状。

Prismatoid 的体积：
\[\tag1\label1
V = \frac{1}{6} h (B_1 + B_2 + 4M)
\]
\[\tag2\label2
V = \frac{1}{4} h (B_1 + 3S)
\]
其中 $h$ 是高度，$B_1$、$B_2$ 是底面面积，$M$ 是中截面面积，$S$ 是高度 $\frac{2}{3}$ 处的平行截面面积。

这些公式来源于辛普森积分法，因为截面面积为高度的二次函数。

hbghlyj

设截面面积为 $A(z) = a + b z + c z^2$，$0\le z\le h$，$A(0) = B_1$，$A(h) = B_2$
体积 $V = \int_0^h A(z) \rmd z = a h + \frac{b}{2} h^2 + \frac{c}{3} h^3$
证明\eqref{1}：代入 $M = A(\frac{h}{2}) = a + \frac{b h}{2} + \frac{c h^2}{4}$
\[
\RHS= \frac{h}{6} \left( a + 4\left(a + \frac{b h}{2} + \frac{c h^2}{4}\right) + (a + b h + c h^2) \right) = \frac{h}{6} (6a + 3 b h + 2 c h^2) = a h + \frac{b}{2} h^2 + \frac{c}{3} h^3
\]
证明\eqref{2}：代入 $S = A(\frac{2h}{3}) = a + \frac{2 b h}{3} + \frac{4 c h^2}{9}$
\[
\RHS = \frac{h}{4} \left( a + 3\left(a + \frac{2 b h}{3} + \frac{4 c h^2}{9}\right) \right) = \frac{h}{4} (4a + 2 b h + \frac{4}{3} c h^2) = a h + \frac{b}{2} h^2 + \frac{c}{3} h^3
\]

hbghlyj

为什么 $A(z)$ 是二次函数