三元均值不等式的一个反向

reny

设$x,y,z\in {R^{+}}$,求证
$$\frac{x+y+z}{3}-\sqrt[3]{xyz}\leq\frac{|x+y-2z|+|y+z-2x|+|z+x-2y|}{6}$$
PS、怎么取个标题更直观啊

kuing

设$x,y,z\in {R^{+}}$,求证
$$\frac{x+y+z}{3}-\sqrt[3]{xyz}\leq\frac{|x+y-2z|+|y+z-2x|+|z+x-2y|}{6}$$
PS、怎么取个标题更直观啊
reny 发表于 2013-8-25 22:54

由全对称性不妨设 $x\geqslant y\geqslant z$，则原不等式等价于
\[\frac{x+y+z}3-\sqrt[3]{xyz}\leqslant \frac{3x-3z+|z+x-2y|}6.\]

（1）若 $z+x\geqslant 2y$，要证的化为
\[\frac{x+y+z}3-\sqrt[3]{xyz}\leqslant \frac{2x-y-z}3,\]
整理为
\[\frac{2y-z-x}3+z\leqslant \sqrt[3]{xyz},\]
由所设知显然成立；

（2）若 $z+x\leqslant 2y$，要证的化为
\[\frac{x+y+z}3-\sqrt[3]{xyz}\leqslant \frac{x+y-2z}3,\]
即
\[z\leqslant \sqrt[3]{xyz},\]
显然成立。

PS、标题可以取“三元均值不等式的一个反向”就行了，叫“加强”不太合适。

reny

回复 2# kuing
kk,真是快啊！

reny

一般地，设$x_1,x_2,\cdots,x_n\in R^{+},n\geqslant 2$,我们有
$$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\leqslant\frac{1}{2n}\sum_{cyc}{|x_1+x_2+\cdots-(n-1)x_n|}$$

kuing

回复 4# reny

这个是你猜想的还是已经证出了？

reny

回复 5# kuing
这个不是我猜测的，是在artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=52&t=550748&看到的