用三元基本不等式可求 $x\sqrt{(9-x^2)}$吗？

走走看看

如标题，3＞x＞0，求函数式的最值。北京的李钰老师在讲解题目时说，除了可用三元基本不等式可求外，还可以用导数。
李钰老师用的是导数。我试了试，我试不出来，如何用三元基本不等式求解。

战巡

黑人问号

什么三元基本不等式？哪来的三元？某些人信口胡说你们还当金玉良言了？

\[x\sqrt{9-x^2}\le \frac{x^2+9-x^2}{2}=\frac{9}{2}\]
当且仅当$x=\sqrt{9-x^2}$取等，即$x=\frac{3}{\sqrt{2}}$

走走看看

不好意思，题目写错了。
在x∈（0,3），求x（9-x²）的最值。

isee

走走看看 发表于 2025-6-22 12:25
不好意思，题目写错了。
在x∈（0,3），求x（9-x²）的最值。

大同小异
\[x(9-x^2)=\sqrt{\frac12\cdot 2x^2(9-x^2)(9-x^2)}\leqslant \sqrt{\frac12\left(\frac{2x^2+9-x^2+9-x^2}3\right)^3}=\cdots\]

PS：基本不等式，一般特指 $a+b\geqslant 2\sqrt{ab}$；$\frac{a+b+c}3\geqslant \sqrt[3]{abc}$ 称三元均值不等式，或者直接叫均值不等式.