两个涉及三角形角平分线的猜想

lemondian

猜想1  设$R,r$分别为$\triangle ABC$的外接圆半径与内切圆半径，$D,E,F$分别为$BC,CA,AB$上的点，且$AD,BE,CF$平分$\triangle ABC$的三个内角。
证明：$\dfrac{DE}{AB}+\dfrac{EF}{BC}+\dfrac{FD}{CA}\geqslant  1+\dfrac{r}{R}$。

猜想2  设$R,r$分别为$\triangle ABC$的外接圆半径与内切圆半径，$D,E,F$分别为$BC,CA,AB$上的点，且$AD,BE,CF$平分$\triangle ABC$的三个内角。
证明：$\dfrac{DE}{AB}+\dfrac{EF}{BC}+\dfrac{FD}{CA}\leqslant \sqrt{1+\dfrac{5r}{R+2r}}$。

注：其中猜想2在这贴的4#提过：forum.php?mod=viewthread&tid=12086

1+1=？

通过计算，发现$\dfrac{DE}{AB}+\dfrac{EF}{BC}+\dfrac{FD}{CA}$是齐次式，且是$\dfrac{R}{r}$的函数，该函数是$16 + 3 x^4 (-1 + y)^3 (1 + 3 y) +
  4 x^3 (-1 + y)^2 (-3 + 2 y + 3 y^2) +
  4 x^2 (7 + 8 y - 16 y^2 + y^4) = 16 x (-5 + y^2)$的一部分，只要证明该曲线的这一部分大于等于$1 + 1/x$且小于等于$\sqrt{1+\dfrac{5}{x+2}}$即可,可惜该高次曲线在ggb上画不出来

1+1=？

根据2#所得隐式函数，通过系列逼近方法得到$1+\dfrac{r}{R} \leqslant 1+ \dfrac{r}{2R} + \dfrac{2r}{2r+3R} \leqslant \dfrac{DE}{AB}+\dfrac{EF}{BC}+\dfrac{FD}{CA} \leqslant \dfrac{3R+6r}{3R+2r} \leqslant \sqrt{1+\dfrac{5r}{R+2r}}$此结论

kuing

1+1=？ 发表于 2025-7-9 03:16
通过计算，发现$\dfrac{DE}{AB}+\dfrac{EF}{BC}+\dfrac{FD}{CA}$是齐次式，且是$\dfrac{R}{r}$的函数，该函 ...

并非如此。
如果 $\dfrac{DE}{AB}+\dfrac{EF}{BC}+\dfrac{FD}{CA}$ 是 $\dfrac{R}{r}$ 的函数，则当外接圆和内切圆都固定时，原式是定值。
但我用几何画板作图发现并不是定值：

1+1=？

新代码如下

1. (* -------------------------------
2.   核心验证函数
3. -------------------------------- *)
4. verifyImprovedInequality[a_, b_, c_] :=
5. Module[{s, area, r, R, A, B, C, xC, yC, D, E, F, DE, EF, FD, sum,
6.    upperBound, lowerBound, validTriangle},
8.   validTriangle = a + b > c && a + c > b && b + c > a;
9.   If[!validTriangle, Return[Nothing]];
11.   s = (a + b + c)/2;
12.   area = Sqrt[s (s - a) (s - b) (s - c)];
13.   If[area <= 0, Return[Nothing]];
15.   r = area/s;
16.   R = (a b c)/(4 area);
18.   A = {0, 0};
19.   B = {c, 0};
20.   xC = (b^2 + c^2 - a^2)/(2 c);
21.   yC = Sqrt[b^2 - xC^2];
22.   C = {xC, yC};
24.   D = (c C + b B)/(b + c);
25.   E = (a A + c C)/(a + c);
26.   F = (a A + b B)/(a + b);  (* F 修正 *)
28.   DE = Norm[E - D];
29.   EF = Norm[E - F];
30.   FD = Norm[F - D];
32.   sum = DE/c + EF/a + FD/b;
33.   upperBound = (3 R + 6 r)/(3 R + 2 r);
34.   lowerBound = 1 + r/(2 R) + (2 r)/(2 r + 3 R);
36.   <|
37.    "Sides" -> {a, b, c},
38.    "SumRatio" -> N[sum, 8],
39.    "LowerBound" -> N[lowerBound, 8],
40.    "UpperBound" -> N[upperBound, 8],
41.    "Holds" -> (lowerBound <= sum <= upperBound)
42.    |>
43.   ];
45. (* -------------------------------
46.   合法三角形生成器
47. -------------------------------- *)
48. generateTriangleTriples[start_, stop_] :=
49. Select[Flatten[
50.    Table[{a, b, c}, {a, start, stop}, {b, a, stop}, {c, b, stop}], 2],
51.   #[[1]] + #[[2]] > #[[3]] &];
53. (* -------------------------------
54.   批量并行验证 + 导出 CSV
55. -------------------------------- *)
56. runBatchedParallelCheck[start_, stop_, step_] :=
57. Module[{results, filename, trueCount, falseCount, triangleTriples},
58.   LaunchKernels[];  (* 启动并行内核 *)
59.   Print["💻 Using ", $$KernelCount, " parallel kernels"];
61.   Do[
62.    Print["⏳ Checking a ∈ [", a, ", ", a + step - 1, "]..."];
63.    triangleTriples = generateTriangleTriples[a, a + step - 1];
64.    results = ParallelMap[
65.      verifyImprovedInequality @@ # &, triangleTriples
66.      ];
67.    results = DeleteCases[results, Nothing];  (* 必须过滤 *)
68.    
69.    filename = "results_parallel_a" <> ToString[a] <> "_to_" <>
70.      ToString[a + step - 1] <> ".csv";
71.    Export[filename, Normal /@ results];  (* 导出 association 为表 *)
73.    trueCount = Count[results, r_ /; r["Holds"] === True];
74.    falseCount = Count[results, r_ /; r["Holds"] === False];
76.    Print["✅ 成立组数: ", trueCount, " | ❌ 不成立组数: ", falseCount];
77.    ,
78.    {a, start, stop, step}
79.    ];
81.   CloseKernels[];
82.   Print["🎉 批处理完成。"]
83.   ];
85. (* -------------------------------
86.   启动主任务
87. -------------------------------- *)
88. runBatchedParallelCheck[3, 1000, 50];

Copy the Code

一共验证了410400组边长在3到1000以内的合法三角形，$1+ \dfrac{r}{2R} + \dfrac{2r}{2r+3R} \leqslant \dfrac{DE}{AB}+\dfrac{EF}{BC}+\dfrac{FD}{CA} \leqslant \dfrac{3R+6r}{3R+2r}$结果都是正确的

kuing

1+1=？ 点评
猜想2的不等式只用考虑等腰三角形的时候，...

就这一点，请给出证明。

1+1=？

kuing 发表于 2025-7-9 23:33
就这一点，请给出证明。

不妨设BC边长为2，点B,C坐标(-1,0),(1,0)，点A坐标(x,y)，先将y当成常数，求导证明，当且仅当x=0的时候，$\dfrac{DE}{AB}+\dfrac{EF}{BC}+\dfrac{FD}{CA}$取最大值，因此只需考虑等腰三角形的情况

1+1=？

通过群友三江方士提供的破解根号定理

设 $u, v, w \geqslant 0$ ，则不等式 $(\sqrt{u}+\sqrt{v}+\sqrt{w})^2 \leqslant t$ 成立的充分必要条件是 $s_1 \geqslant 0 \wedge s_2 \geqslant 0 \wedge s_0 \geqslant 0$，又不等式 $(\sqrt{u}+\sqrt{v}+\sqrt{w})^2 \geqslant t$ 成立的充分必要条件是 $(s_1 \geqslant 0 \wedge s_2 \geqslant0) \Rightarrow s_0 \leqslant 0$，其中，
\begin{aligned}
& s_1:=t-(u+v+w) \\
& s_2:=s_1^2-4(v w+w u+u v) \\
& s_0:=s_2^2-64 u v w t
\end{aligned}

软件爆算证明了上界$\dfrac{3R+6r}{3R+2r}$，下界由于$S_2$中有些许减号，需要配方才能看出正负性，但尚未配方。
令${{a=x+y,b=y+z,c=z+x},{x>0,y>0,z>0}}$保证了三角形的合法性，用到公式$\dfrac{R}{r}=\dfrac{2abc}{(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}$
计算过程： 内心三角形不等式证明-2.nb (269.04 KB, Downloads: 0)

2025-7-12 03:13 Upload

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另外，在不知道破根号定理的时候，尝试用pade逼近去根号，但发现证明上界用这方法是不可能的，这上界$\dfrac{3R+6r}{3R+2r}$和估计变量$\dfrac{DE}{AB}+\dfrac{EF}{BC}+\dfrac{FD}{CA}$是双取等关系分别在$\dfrac{内心三角形一条边长}{大三角形对应边长}=0,1$时取等，而$\sqrt{x}$的pade逼近无法过原点。虽然下界$1+ \dfrac{r}{2R} + \dfrac{2r}{2r+3R}$也是双取等，但证明下界时却可以用足够强的pade逼近，这是因为$\sqrt{x}$是凸函数，其所有$[n+1,n]$阶pade逼近$p(x)$在$(1,+\infty)$都大于$\sqrt{x}$，易证$\dfrac{1}{p(\frac{1}{x})}$在$(0,1)$小于$\sqrt{x}$且过原点，因此可以证明下界。