转解题群一个不等式

realnumber

山东-许永忠(33````741)  15:23:47

我是采用了下面这个，只好保留了3项,第四项开始用等比数列求和
$\frac{3^n}{(3^n-1)^2}\le \frac{3^n}{(3^n-1)^2-1}=\frac{1}{3^n-2}\le \frac{1+2}{3^n-2+2}=\frac{1}{3^{n-1}}$

$\frac{3}{4}+\frac{9}{64}+\frac{1}{25}+\frac{1}{18}<\frac{48}{64}+\frac{9}{64}+\frac{3}{64}+\frac{4}{64}=1$

其妙

两个放缩在第一次放缩的时候都是一样的，只是第二次放缩的时候有差异。
    许老师的那个第二次放缩（分子为$1$），分母放缩前后之差为$3^{n-1}-2$，故在$n=2$时分母放缩前后的之差为$3^1-2=1$，在$n=3$时分母放缩前后的之差为$3^2-2=7$，
     realnumber老师的第二次放缩（分子也为$1$），用的真分数的性质放缩（“糖水不等式”），放缩很巧妙，分母放缩前后之差为$(3^n-2)-3^{n-1}=2\cdot3^{n-1}-2$，故在$n=2$时分母放缩前后之差为$2\cdot3^1-2=5$，在$n=3$时分母放缩前后的之差为$2\cdot3^2-2=16$，故起始放缩的误差过大(但到了$n$很大的时候，误差就微不足道了，例如误差$0.0000000001$和误差$0.0000000001\times\dfrac12$几乎是相等的)，可以采取前几项不放缩，既可以防止放缩误差过大的问题，也可以趁机弥补$n$很大的时候放缩的误差损失，
    学习了！

realnumber

昨天有人还发了个，$ \frac{1}{2}(\frac{1}{3^{n-1}}-\frac{1}{3^n-1})$大概也可以凑好的.