Brouwer不动点定理

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Brouwer不动点定理：对于一个任何维度的闭圆盘，进行任意连续变换，只要最终的图形仍在原来的圆盘内，那么至少有一个点会留在它原来的位置上。

让我们通过“毛球定理”反证。假设存在一个从 $n$ 维圆盘 $D^n$ 到其自身的连续映射 $f$，但它没有任何不动点。既然对于任何点 $x$，$f(x)\ne x$，我们就可以为圆盘上的每个点定义一个非零的向量
$$w(x) = x - y \frac{1 - x \cdot x}{1 - x \cdot y}, \quad \text{其中 } y = f(x)$$$w$ 处处非零：否则 $(x\cdot y)x=(x\cdot x)y$ 将意味着 $x=y$，这与假设矛盾。
在边界上，$w$ 径向朝外：圆盘 $D^n$ 的边界是球面 $S^{n-1}$。在边界上的点满足 $x \cdot x = 1$，分子变成了0。于是，在边界上，我们得到 $w(x) = x$。

至此，我们利用“没有不动点”的假设，成功地在圆盘上构建了一个连续的、处处非零的、且在边界上径向朝外的向量场。

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将n维圆盘 $D^n$ 放置在n+1维空间的“赤道”平面上。
通过从北极点进行球极投影（Stereographic Projection），圆盘上的每一个点 $x$ 都会被映射到 $S^n$ 球面的南半球上的一个唯一对应点$$s(x)=\frac{(2 x_1, \dots, 2 x_n, x \cdot x-1)}{x\cdot x+1}.$$
同样地，圆盘上的向量场 $w(x)$ 也被投影到了球面上，形成了一个切向量场 $$W(s(x))=\frac{\rmd}{\rmd t}s(x+tw(x))\Big|_{t=0}$$
关键是：由于我们构造的 $w(x)$ 在圆盘边界上是径向朝外的，当它被投影到球面上时，在赤道位置的向量 $W$ 会统一指向北方。

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我们刚刚通过从北极投影，在南半球构建了一个切向量场，在赤道处指向北方。
利用对称性，我们完全可以从南极进行投影，在北半球也构建一个切向量场，在赤道处同样指向北方。
由于南北半球的两个向量场在赤道处完美地拼接在了一起（都指向北方），我们就得到了一个覆盖整个球面 $S^n$ 的、连续的、处处非零的切向量场。

如果 $n$ 是一个偶数，我们基于“没有不动点”的假设所构造出来的东西，与“毛球定理”矛盾。

结论：Brouwer不动点定理对于所有偶数维度 $n$ 成立。

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那么奇数维度呢？
假设在某个奇数维圆盘 $D^{2k-1}$ 上，存在一个没有不动点的映射 $f$。
我们可以利用它，在一个更高维的偶数维圆盘 $D^{2k}$ 上定义一个新的映射 $F$：$$F(x_1, \dots, x_{2k-1}, x_{2k}) = (f(x_1, \dots, x_{2k-1}), 0)$$这个新映射 $F$ 只是对前 $2k-1$ 个坐标应用了 $f$，并把最后一个坐标变成了0。
这个新的映射 $F$ 也必定没有不动点。因为如果 $F$ 有不动点，就意味着 $f(x_1, \dots) = (x_1, \dots)$ 并且最后一个坐标 $x_{2k}=0$。但这与我们最初假设 $f$ 没有不动点相矛盾。
也就是说，如果奇数维存在一个反例，我们就能在偶数维构造出一个反例。

但这与我们刚刚证明的结论（偶数维不存在反例）相矛盾！因此，奇数维度也不可能存在反例。

至此，证明完成。Brouwer不动点定理对所有维度都成立。