复杂函数不等式插值简单函数

1+1=？

在证明不等式
$\forall x\in [0,\frac{\pi}{2}) :$
\begin{align}sin^6 x-sin^4 x +(\frac{sinx}{x})^4 \geqslant 2cosx-\frac{sinx}{x}\end{align}时，我插入了另外一个函数：
$\forall x\in [0,\frac{\pi}{2}) :  $
\begin{align}sin^6 (x)-sin^4 (x)+(\frac{sin(x)}{x})^4 \geqslant \frac{\sqrt{\pi}}{6}x^2 +2cos(\frac{\pi}{4}x)+cos(x)-2 \geqslant 2cos(x)-\frac{sin(x)}{x}\end{align}
但插入函数之后，第一个不等号明显更难证明了

1+1=？

（2）事实上有更强式子：
$\forall x\in [0,\frac{\pi}{2}) ,  $
\begin{align}sin^6 (x)-sin^4 (x)+(\frac{sin(x)}{x})^4 \geqslant \frac{11}{45}x^2 +2cos(\frac{3}{4}x)+cos(x)-2 \geqslant 2cos(x)-\frac{sin(x)}{x}\end{align}