构造$S^n$到$S^n$的满射存在无限预像点

hbghlyj

是否存在一个满射 $f: S^n → S^n$，使得至少存在一个点 $y ∈ S^n$，其预像 $f^{-1}(y)$ 是一个无限集？

hbghlyj

对$n=2$的情况，取一个满射 $f: S^1 → S^2$。（是的，这样的连续满射存在，例如通过空间填充曲线实现，尽管 $S^1$ 是1维的，但它可以“填充”2维的 $S^2$。）

接下来，对这个映射进行悬挂，得到 $Sf: S^2 → S^3$。悬挂操作本质上是将原映射“抬高”一维，保持满射性质。

然后，与Hopf纤维化 $ν: S^3 → S^2$ 进行复合，即 $g = ν ∘ Sf: S^2 → S^2$。

这个 $g$ 具有所需的性质：
对于每个 $y ∈ S^2$，$ν^{-1}(y)$ 是一个圈$S^1$。
由于 $Sf$ 是满射的，$Sf^{-1}(ν^{-1}(y))$ 将包含无限多个点（因为 $Sf$ 的预像会“展开”这个圈上的点）。

因此，$g^{-1}(y) = Sf^{-1}(ν^{-1}(y))$ 是无限集对每个 $y$ 都成立！