多项式的最大模原理

hbghlyj

Maximum Modulus Theorem for polynomials
对于任何非常量多项式 $p(z)$，模 $|p(z)|$ 不存在局部最大值。换句话说，对于任何选定的点 $z_0\inC$，总能找到附近的另一个点，使$|p(z)|$更大。模 $|p(z)|$ 的图像上，不存在任何一个山峰。对于任何一个点，你总能在它旁边找到一个更高点。

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第一步是把 $p(z)$ 在 $z_0$ 展开：
$$p(z) = b_0 + b_r(z-z_0)^r + b_{r+1}(z-z_0)^{r+1} + \dots + b_n(z-z_0)^n$$
这里 $b_0 = p(z_0)$ 是我们的基准值。$b_r$ 是 $b_0$ 之后第一个不为零的系数。
现在，我们要从 $z_0$ 点出发，移动一小段距离，到达一个新的点 $z = z_0 + te^{i\beta}$。

• $t$ 是一个很小的正实数，代表移动的距离。
• $e^{i\beta}$ 是一个模为1的复数，代表移动的方向。

这个证明最巧妙的地方在于对方向 $\beta$ 的选择。我们选择一个特定的方向，使得我们最重要的两项，也就是 $b_0$ 和 $b_r(z-z_0)^r = b_r t^r e^{ir\beta}$ 这两个复数同向。

当两个复数同向时，它们相加后的模等于它们各自的模相加：
$$|b_0 + t^r e^{ir\beta}b_r| = |b_0| + t^r|b_r|$$
我们成功地在原有的模 $|b_0|$ 的基础上，增加了一个正数 $t^r|b_r|$。

现在万事俱备，我们来完成整个计算。从 $z = z_0 + te^{i\beta}$ 点的模开始：
$$|p(z_0 + te^{i\beta})| = \left| b_0 + t^re^{ir\beta}b_r + \sum_{m=r+1}^n b_m (z-z_0)^m \right|$$
利用三角不等式 $|X+Y| \ge |X| - |Y|$，$X = b_0 + t^re^{ir\beta}b_r$，$Y$是后面那一大串高次项
\begin{align*}
|p(z_0 + te^{i\beta})| &\ge |b_0 + t^re^{i\alpha}b_r| - \left| \sum_{m=r+1}^n b_m t^m e^{im\beta} \right| \\
&\ge |b_0 + t^re^{i\alpha}b_r| - \sum_{m=r+1}^n |b_m| t^m \\
&= (|b_0| + t^r|b_r|) - \sum_{m=r+1}^n |b_m| t^m \\
&\ge |b_0| + t^r \left( |b_r| - t \sum_{m=r+1}^n |b_m| \right)&\because t^{r+1}\ge t^m
\end{align*}
我们成功地把 $|p(z)|$ 表示成了 $|b_0|$ 加上一个尾巴。只要我们让 $t$ 足够小，就能保证括号里的部分 $(|b_r| - t \sum |b_m|)$ 是一个正数。这样我们就得到了最终的结论：
$$|p(z_0 + te^{i\beta})| > |b_0| = |p(z_0)|$$因为 $z_0$ 是任意选取的，所以这个结论对所有点都成立。这就证明了 $|p(z)|$ 没有局部最大值。

文末提到，如果当初选择方向时，让 $b_0$ 和 $b_r(z-z_0)^r$ 方向相反，用几乎一样的计算可以得出结论：$|p(z)|$ 的局部最小值只能在 $p(z)=0$ 的地方取得。这个思路也为代数基本定理提供了一个证明路径。