一个几何题

转化与化归

kuing

先求 $S_{\triangle SAB}$ 的最大值，由于 $SA=4$, $AB=5$, $SB\geqslant7$，而 $7^2>4^2+5^2$，故 $\triangle SAB$ 为钝角三角形且 $S_{\triangle SAB}$ 关于 $SB$ 递减，故当 $SB=7$ 时 $S_{\triangle SAB}$ 取最大值，由海伦公式易计算出此最大值为 $4\sqrt6$。
设 $BC$ 与 $\triangle SAB$ 所在平面所成夹角为 $\alpha$，则
\[V=\frac13BC\sin\alpha\cdot S_{\triangle SAB}\leqslant8\sqrt6,\]
当 $SA=4$, $SB=7$, $SC=\sqrt{85}$, $AB=5$, $BC=6$, $AC=\sqrt{61}$ 时取等。