几何最值试题(1)

aishuxue

在$\triangle ABC$中，$AD$为$BC$边上的高，且$AD=BC$，试求$\dfrac{AC}{AB}+\dfrac{AB}{AC}$的最大值。
求纯几何解法。

其妙

回复 1# aishuxue
等乌贼来吧，

乌贼

回复 2# 其妙
这个真的不会，这种线段比值的题几何法不知如何玩……

其妙

回复 3# 乌贼
代数法倒是FAQ（kk语录），

kuing

回复 4# 其妙

嗯，很F
随时可以给N个链接，不过都是代数法的，就不贴了。

isee

回复 5# kuing

这个高与底相等，其实只需要比例值即可，做法相同，在解析几法下看至少是这样。

最后结果是$\sqrt 5$，转载一个化成边的代数法的方法来让我学习一下。


＝＝＝

在第12楼已经补充完整过程。解析几何法。

kuing

回复 6# isee

你自己做过的：bbs.pep.com.cn/thread-2562099-1-1.html

isee

回复 7# kuing


化为角了，三角法，严格的说。

想学习下用正余弦定理完全化边的。

isee

此题改成求$\angle A$的取值范围就有意思了

其妙

转至kuing：到底D点能不能在BC延长线上呢?.......点D不能在BC延长线上？............根号五的取值是D在延长线上的

isee

回复 10# 其妙


   

当然可以，高，可以在外面。

isee

这里将6楼补充完整过程。

这题FAQ，但基本均是转化为三角函数解决。


整理了一下，结果到零点半了，太晚了，不保证无瑕疵，但思维过程，没问题，供参考。
虽不是纯平面几何法，解析几何，也算是纯几何法了。


题目

在$\triangle ABC$中，$AD$为$BC$边上的高，且$AD=BC$，试求$\dfrac{AC}{AB}+\dfrac{AB}{AC}$的最大值。

以$BC$中点为坐标原点，$BC$所在的直线为$x$轴，建立直角坐标系$xOy$。


设$B(-a,0),C(a,0),D(b,0)$，由$BC=AD,AD\perp BC$，由可令$A(b,2a)$。


\begin{align*}
  \left (\dfrac {AB}{AC}+\dfrac {AC}{AB}\right )^2&=2+\bigg (\dfrac {AB}{AC}\bigg )^2+\bigg (\dfrac {AC}{AB}\bigg )^2\\
  &=2+\dfrac{(a+b)^2+4a^2}{(a-b)^2+4a^2}+\dfrac{(a-b)^2+4a^2}{(a+b)^2+4a^2}\\
  &=2+\dfrac{(\frac ba+1)^2+4}{(\frac ba-1)^2+4}+\dfrac{(\frac ba-1)^2+4}{(\frac ba+1)^2+4}\\
  &=2+f(\frac ba)+\frac 1{f(\frac ba)}
\end{align*}

即转化成熟悉的对勾函数了，而$f(x)=\dfrac{(x+1)^2+4}{(x-1)^2+4},x=\dfrac ba\in \mathbb{R}$也是熟悉的了。

如，考虑到题设（以及点$A$的对称性）不防令$a>0,b>0,x=\dfrac ba$，有

\begin{align*}
  f(x)&=\dfrac{(x+1)^2+4}{(x-1)^2+4},x>0\\
  &=\dfrac{x^2+2x+5}{x^2-2x+5}=1+\dfrac{4x}{x^2-2x+5}= 1+\dfrac{4x}{x^2-2x+5}\\
  &=1+\dfrac{4}{x+\frac 5x-2}\leqslant 1+\dfrac{4}{2\sqrt 5-2}=\dfrac {\sqrt 5+3}2\\
  &\cdots
\end{align*}

也就是说$f(\dfrac ba)\in \left (1,\dfrac {\sqrt 5+3}2\right ]$，则，目标式$\left (\dfrac {AB}{AC}+\dfrac {AC}{AB}\right )^2=2+f(\frac ba)+\frac 1{f(\frac ba)}$递增……