小不等式的证明

史嘉

已知$|x|\le1,|y|\le1$，求证：$|\frac{x+y}{1+xy}|\le1$
用放缩法怎么直接证明？请教。

kuing

$(1-x^2)(1-y^2)\geqslant0\iff 1+x^2y^2\geqslant x^2+y^2\iff (1+xy)^2\geqslant(x+y)^2$

其妙

对复数x、y成立不？

kuing

对复数x、y成立不？
其妙 发表于 2013-12-16 13:28

只将 $x$, $y$ 改为复数而待证不等式不变的话，是不成立的，比如说 $x=0.5+0.5i$, $y=-0.5+0.5i$。

但是如果将 $x$, $y$ 改为复数同时将待证不等式稍改变一点，变成
\[\left|\frac{x+y}{1+\bar x\cdot y}\right|\leqslant1\]
就成立，而且还可以加强，见旧版论坛的这贴：kkkkuingggg.haotui.com/viewthread.php?tid=831

史嘉

回复 4# kuing

哦，忘了实数的范围了。
反而有了更多的收获，谢谢！

尝试几次放缩法，均无功而返。

战巡

回复 1# 史嘉

当$x=\pm 1$或$y=\pm 1$时，显然成立
当$x\ne \pm 1, y\ne \pm 1$时，令$x=\tanh(m), y=\tanh(n)$
可得
\[\abs{\frac{x+y}{1+xy}}=\abs{\frac{\tanh(m)+\tanh(n)}{1+\tanh(m)\tanh(n)}}=\abs{\tanh(m+n)}<1\]

kuing

回复 6# 战巡

双曲党……
PS、tanh -> \tanh

战巡

回复 7# kuing


    已改~双曲多好用啊，一下就秒了~

007

回复 3# 其妙


    如果是复数，结论的分母中"$1+xy$"改成"$1+\overline{x}y$"即可，仍然成立

kuing

回复  其妙


    如果是复数，结论的分母中"$1+xy$"改成"$1+\overline{x}y$"即可，仍然成立 ...
007 发表于 2013-12-16 17:12

四楼已经讲了……

007

回复 10# kuing


    刚看到，来不及删除了。没有看完贴就发帖了……就当练习发代码了……

其妙

复数时原来在旧版有啊！
怪不得似曾相识，但复数又证明不出，原来要改一下！