不使用牛莱公式

icesheep

证明 1/x 在 [1,2] 上的积分为 ln2

(来自贴吧，比较有趣的问题)

kuing

大概从那个FAQ弄过去吧，1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(n+n) 那个

kuing

由 $\ln(1+x)<x$（当 $x\ne0$）分别令 $x=1/k$ 及 $x=-1/k$ 得到菊部
\[\ln\frac{k+1}k<\frac1k<\ln\frac k{k-1},\]
于是
\[\ln \frac{2n+1}{n+1}<\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+n}<\ln 2,\]
取极限，中间是 $\int_1^21/x\rmd x$，两边为 $\ln2$。

链剑心

爆菊爆多了吧

LLLYSL

利用欧拉常数来做也可以，其实和 kuing 的基本等价。
记数列 $a_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n$ ，可以很容易证明这是一个单调有界数列，那么一定有极限，我们称这个极限为欧拉常数 $\gamma=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right) \approx 0.57721566$ ，至今，欧拉常数是有理数还是无理数都不知道。
$\gamma=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n+\varepsilon_n \cdots \cdots(1)$ ，其中 $\varepsilon_n$ 是余项，$n \rightarrow \infty, \varepsilon_n \rightarrow 0$
$\gamma=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2 n}-\ln 2 n+\varepsilon_{2 n} \cdots \cdots(2)$ 其中 $\varepsilon_{2 n}$ 是余项，$n \rightarrow \infty, \varepsilon_{2 n} \rightarrow 0$
\[
\begin{aligned}
& (2)-(1) \Rightarrow \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n}=\ln 2 n-\ln n+\varepsilon_n-\varepsilon_{2 n} \\
& =\ln 2+\varepsilon_n-\varepsilon_{2 n}
\end{aligned}
\]
令上式 $n \rightarrow \infty$ 命题就得证

潇湘君

好方法啊！

caijinzhi

回复 3# kuing
那局部如何不用结论得出？避免循环论证。

kuing

回复 7# caijinzhi

哪里循环了？

caijinzhi

回复 8# kuing
就是那个夹逼不等式！

羊1234

回复  kuing
就是那个夹逼不等式！
caijinzhi 发表于 2014-12-7 20:44

这是什么不等式？夹逼不等式？

战巡

回复 7# caijinzhi


那个用导数就能推出来
导数和定积分没有什么联系的，早期完全是独立发展，除非你用牛莱公式

kuing

怕循环的话，整成这样子
\[ \ln \frac{k+1}k<\frac1k<\ln \frac k{k-1}\iff \frac{k+1}k<e^{1/k}<\frac k{k-1} \iff \left( 1+\frac1k \right)^k<e<\left( 1+\frac1{k-1} \right)^k,\]
由 e 的定义。