来自人教论坛的数列不等式

kuing

链接：bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2875429
题目：

bn=2^n-1/2^n,,数列{1/bn}的前n项和为Tn,求证Tn<4/3

没什么特别想法，很常规地放缩到等比数列，由于 $1/2^n$ 很小，就放缩一点点吧，放到 $1.9^n$ 好了。
当 $n=1$ 时不等式显然成立，当 $n\geqslant2$ 时
\begin{align*}
2^n-1.9^n&=0.1\times(2^{n-1}+2^{n-2}\times1.9+\cdots+2\times1.9^{n-2}+1.9^{n-1})\\
&>0.1\times(2+1.9)\\
&=0.39\\
&>0.25\\
&\geqslant\frac1{2^n},
\end{align*}
即得
\[b_n=2^n-\frac1{2^n}>1.9^n,\]
于是
\begin{align*}
T_n&<\frac1{b_1}+\sum_{k=2}^n\frac1{1.9^k}\\
&<\frac23+\frac{\frac1{1.9^2}}{1-\frac1{1.9}}\\
&=\frac23+\frac1{1.9\times0.9}\\
&=\frac23+\frac{100}{171}\\
&<\frac23+\frac{100}{150}\\
&=\frac43.
\end{align*}

综上，原不等式得证。

kuing

保留项多些，放缩就可以松些。
显然
\[\frac1{b_n}=\frac{2^n}{(2^n-1)(2^n+1)}=\frac12\left( \frac1{2^n-1}+\frac1{2^n+1} \right)<\frac12\left( \frac1{2^{n-1}}+\frac1{2^n} \right)=\frac3{2^{n+1}},\]
当 $n=1$, $2$ 时容易验证不等式成立，当 $n\geqslant3$ 时
\begin{align*}
T_n&<\frac1{b_1}+\frac1{b_2}+\sum_{k=3}^n\frac3{2^{k+1}}\\
&<\frac23+\frac4{15}+\frac{\frac3{2^4}}{1-\frac12}\\
&=\frac{157}{120}\\
&<\frac43.
\end{align*}

睡神

回复 2# kuing
倒数第二步类似有少少问题…弱弱的问个，倒数第二步有神马作用？

kuing

回复 3# 睡神

噢，那个打错了，已改

睡神

回复 4# kuing
并且个人感觉类似不需要那么麻烦吧…莫非错觉？

kuing

回复 5# 睡神
你也写一个吧

睡神

$\dfrac{1}{b_n}=\dfrac{2^n}{(2^n-1)(2^n+1)}\le\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2^{n-1}}$
后面就是等比求和了…
不熟悉代码，爪机打的真不舒服…
都不知道对不对…

kuing

回复 7# 睡神

噢，这个居然刚刚好……

睡神

回复 8# kuing
起床咯…找吃的去，快要给饿晕了…

第一章

睡神的速度挺快的

第一章

还是在床上lu的？

其妙

回复  kuing
起床咯…找吃的去，快要给饿晕了…
睡神 发表于 2013-9-8 12:05

12点啦，和kk有的一比了，