一道面积的证明题

青青子衿

设 $y=f(x)$ 是三次多项式， $P$ 是该多项式的曲线上异于拐点的任一点，若曲线在点 $P$ 处的切线与曲线交于另一点 $Q, A_1$ 为曲线和切线 $P Q$ 围成图形的面积；曲线在点 $Q$ 的切线与曲线交于点 $R$（图3－6），$A_2$ 为曲线和切线 $Q R$ 围成图形的面积．证明 $A_2: A_1$ 为常数 （选自《美国大学生数学竞赛例题选讲》）．

Tesla35

2010福建高考理

其妙

回复 2# Tesla35
，这个都记得住，这个lu了没有？
好像还有个什么关于切线的、中点坐标的题目吧？kk应该知道的，

Tesla35

回复 3# 其妙

哈哈。必然lu了，这份文档叫做三次函数。

Tesla35

回复 3# 其妙


    那些性质当时都搜集了，但是还没整理好。太忙啊~

青青子衿

Tesla35 发表于 2013-12-30 11:25
那些性质当时都搜集了，但是还没整理好。太忙啊~

其妙 发表于 2013-12-30 05:25
，这个都记得住，这个lu了没有？
好像还有个什么关于切线的、中点坐标的题目吧？kk应该知 ...

搜集？整理？lu？
证明 根据上例的结论我们选择拐点为平移后新的坐标原点，由于面积具有平移变换不变性，所以我们不妨将新坐标轴仍记为 $x$ 轴和 $y$ 轴，则三次曲线方程为
\[
y=a x^3+b x, a \neq 0,
\]
设点 $P$ 的横坐标为 $x_0$，利用导数可以容易地求出点 $Q$ 的横坐标为 $x_1=-2 x_0$（过程从略）．类似地求得点 $R$ 的横坐标为 $x_2=4 x_0$．

直接积分（过程从略）可得 $A_1=\frac{27}{4}|a| x_0^4, A_2=108|a| x_0^4$，可知
\[
A_2=16 A_1.
\]
注 这里的三次曲线方程本该写成更一般的形式
\[
y=p x^3+q x^2+r x+s
\]
在这样的形式下，我们会发现求切线与曲线另一个交点的横坐标时会非常麻烦，而且两条切线方程，两个交点坐标和两个图形的面积都要逐一求出。而这里经过平移变换后，$x_1$ 变得很容易求出，而且只要将 $x_1$ 和 $A_1$ 中的 $x_0$ 用 $-2 x_0$ 替代，即可得 $x_2=4 x_0, A_2=108|a| x_0^4$ ，本例非常突出地体现了平移变换的优越性。

通过作图可以直观地看到曲线的对称中心，而式（3－8）可使感性的认识上升到理性的认识．