2013广东预赛第8题（应该不是水题）

福州小江

已知实系数一元二次方程 $a x^2+b x+c=0$ 有实根，则使得
\[
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq r a^2
\]
成立的正实数 $r$ 的最大值为

转化与化归

发一下标准答案，以引发讨论.
解：$r_\max=\frac{9}{8}$
不妨设 $a=1$，方程 $x^2+b x+c=0$ 的两实根为 $x_1, x_2$
由韦达定理，$b=-x_1-x_2, c=x_1 x_2$.
\[
\begin{aligned}
& \therefore(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=(1-b)^2+(b-c)^2+(c-1)^2 \\
& =\left(1+x_1+x_2\right)^2+\left(x_1+x_2+x_1 x_2\right)^2+\left(x_1 x_2-1\right)^2 \\
& =2\left(x_1^2+x_1+1\right)\left(x_2^2+x_2+1\right) \\
& =2\left[\left(x_1+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right] \cdot\left[\left(x_2+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right] \geq \frac{9}{8} .
\end{aligned}
\]
从而，$r \leq \frac{9}{8}$ ，当 $x_1=x_2=-\frac{1}{2}$ 时等号成立.

joatbmon

令，$x=\frac{b}{a},y=\frac{c}{a},\frac{r}{2}\leq x^2+y^2-x-y-xy+1,$考查二元函数$f(x,y)= x^2+y^2-x-y-xy+1$易知当$x=y=1$时取到最小值$0$，但不符合约束条件$x^2\geq4y$，由于$f(x,y)$是连续的，所以它的最小值必在边界上取到，也就是说此时$x^2=4y$，代入得$8r\leq x^4-4x^3+12x^2-16x+16=[(x-1)^2+3]^2$，故此$x=1,y=\frac{1}{4},r_{max}=\frac{9}{8}$

福州小江

回复 2# 转化与化归


    嗯，看过参考答案，发这题想知道能不能不用根来做，直接根据三个系数来解决？？？？

福州小江

回复 3# joatbmon


    厉害！！！！！！！！！！！！！！

其妙

令，$x=\frac{b}{a},y=\frac{c}{a},\frac{r}{2}\leq x^2+y^2-x-y-xy+1,$考查二元函数$f(x,y)= x^2+y^2-x-y- ...
joatbmon 发表于 2013-9-12 10:14

由于$f(x,y) $是连续的，所以它的最小值必在边界上取到，也就是说此时$x^2=4y
$
（1）万一最小值不在边界呢？
（2）万一边界得到的是最大值呢？
（1）（2）的反例就不想构造了

joatbmon

这个函数的解析式下可以，只不过我说不清楚理由，只有感觉，没有严格证明。从应试角度讲，不在边界取到，题目给这个边界干嘛呢
擦，码字白码了。
二元连续函数，在整个xoy平面上存在一阶二阶偏导数，最值在边界，极值点（驻点）处取到，显然x，y趋向无穷时，f（x ，y）趋向正无穷，而唯一的驻点（1，1）不在范围内，那么最小值就在边界上取到。不行么？

其妙

回复 7# joatbmon
加了这几条理由，还算成立，

其妙

好吧，我也来试试：
标答是用韦达定理，借助于两根来完成的，能否不借助两根呢？
由均值不等式可得，$\dfrac3{80}a^2+\dfrac35c^2\geqslant\dfrac3{10}|ac|\geqslant\dfrac3{10}ac$，以及$\dfrac58b^2+\dfrac25(a+c)^2\geqslant |b(a+c)|\geqslant b(a+c)$，

且方程有两实根得到$\dfrac38b^2\geqslant\dfrac38\cdot4ac=\dfrac32ac$，

以上三式相加得：$(\dfrac3{80}+\dfrac25)a^2+\dfrac58b^2+c^2+\dfrac45ac\geqslant\dfrac3{10}ac+ab+bc$，

即：$\dfrac7{16}a^2+\dfrac58b^2+c^2\geqslant ac+ab+bc$，

故$a^2+b^2+c^2-(ac+ab+bc)\geqslant \dfrac9{16}a^2$，即：$\dfrac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{a^2}\geqslant \dfrac9{16}$

于是，$\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{a^2}=\dfrac{2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{a^2}\geqslant \dfrac98$，

故$r_\max=\dfrac98$，取等号略。

realnumber

回复 3# joatbmon

$x^2\ge 4y$,可以用$x^2-t=4y,t\ge0$替换，然后先消去y,固定x,看作t的2次函数，对对称轴位置分类讨论...，接下来就是x的4次函数（3楼），.....---修改了下

其妙

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realnumber

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   我算错了~~~