一个立体几何最值题

joatbmon

在平行四边形$ABCD$中，$BC=2AB=2,\angle B=60^{\circ},$点$E$是线段$AD$上任一点（不包含点$D$），沿直线$CE$将$\triangle CDE$翻折成$\triangle CD'E$，使$D'$在平面$ABCE$上的射影$F$落在直线$CE$上，则$AD'$的最小值是
怎么做快？

joatbmon

我的做法：以C为原点，CD为x轴，CA为y轴建系，设直线CE:y=kx，过AD作垂线，垂足M,N，$AD'^2=AM^2+DN^2+MN^2=4-\frac{2\sqrt{3}k}{1+k^2}\geq4-\sqrt{3}$，但是我觉得计算稍多，而且跟立体几何没啥关系了，请问大家别的做法

kuing

\(\require{cancel}\)

过 $F$ 作直线 $BC$ 的垂线，垂足为 $G$，作 $\triangle CDF$ 的外接圆 $H$，则
\[\xcancel{AD'^2=BF^2+FD^2=BF^2-FC^2+CD^2=BG^2-GC^2+CD^2,}\gets 这里搞错了，修正的在8楼\]
$\xcancel{故显然当 FG 与 \odot H 相切时 AD' 取最小值，下略。}$

注：即使 $F$ 或 $G$ 在平行四边形外，以上等式仍然成立。

joatbmon

回复 3# kuing

多谢，这个好。
有个疑问，$AD'^2=BF^2+FD^2$为什么？

kuing

回复 4# joatbmon

但是目测了一下后面得出的最小值应该是 2 ……跟你的不同

joatbmon

回复 5# kuing

原题给的参考答案是我那个，是选择题。上半年某高三模拟卷里的。
$AD'^2=AF^2+FD^2$，$AF$跟$BF$应该不等吧

kuing

噢，原来是我看错了，汗，我计算了 BD'

kuing

方法还是那样，改一下就行了。

连结 $AC$，作 $FG\perp AC$ 于 $G$，作 $\triangle CDF$ 的外接圆 $H$，则
\[AD'^2=AF^2+FD^2=AF^2-FC^2+CD^2=AG^2-GC^2+CD^2,\]
故显然当 $FG$ 与 $\odot H$ 相切时 $AD'$ 取最小值，下略。

kuing

这样就和答案一样了

joatbmon

回复 9# kuing


    平面几何强大

其妙

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    平面几何强大
joatbmon 发表于 2013-9-13 17:08

不止平面几何强大，还有立体几何也强大

爪机专用

回复 11# 其妙
立几我弱。。。定理都没知道几个。。。

其妙

回复 12# 爪机专用
知道的反而做不起，不知道的反而能把定理发现并推出