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教师—C++(9802*****) 23:11:33
（2013山东理科16题）定义“正对数”：$\ln^+x=\begin{cases}
0,&0<x<1,\\
\ln x,&x\geqslant1.
\end{cases}$ 现有四个命题：
(1) 若 $a>0$, $b>0$，则 $\ln^+(a^b)=b\ln^+a$；
(2) 若 $a>0$, $b>0$，则 $\ln^+(ab)=\ln^+a+\ln^+b$；
(3) 若 $a>0$, $b>0$，则 $\ln^+(a/b)\geqslant \ln^+a-\ln^+b$；
(4) 若 $a>0$, $b>0$，则 $\ln^+(a+b)\leqslant \ln^+a+\ln^+b+\ln2$。
其中的真命题有__________。
这种题，是为了把学生搞的晕头转向
教师-鱼子(5755*****) 23:12:38
治人的
教师-v6(4744*****) 23:12:50
就地取材 看学生是否有学习的潜力 我觉得是好题
学生-宸瑜(4538*****) 23:14:30
整个题答案是什么啊。
教师—C++(9802*****) 23:14:44
1,3,4
教师- 野猪-吴剑(1361****) 23:14:54
这种题不错呀
靠学生阅读
现在高考阅读题很多了，
很多新定义
[中间略省一段]
群管-kuing 23:24:18
那道题的确不错的哟，如果之前我出贴子解高考题的话，那道题肯定选上
教师-鱼子(5755*****) 23:28:23
的确心思不错。。为什么高考不能基础点？高中为义务教育应该不远了吧。。。
还是不记录太多对话了，写一下我的具体证明。
对于(1)，显然 $a^b$ 与 $a$ 必然同在 $(0,1)$ 或 $[1,+\infty)$，故显然成立；
对于(2)，取 $a=2$, $b=0.4$ 便知不成立；
对于(3)，若 $a<b$，则
\[\ln^+\frac ab\geqslant \ln^+a-\ln^+b \iff \ln^+a\leqslant \ln^+b,\]
因为 $f(x)=\ln^+x$ 为不减函数，故显然成立；
若 $a\geqslant b$，则
\[\ln^+\frac ab\geqslant \ln^+a-\ln^+b \iff \ln a-\ln^+a\geqslant \ln b-\ln^+b,\]
而 $g(x)=\ln x-\ln^+x=\begin{cases}
\ln x,&0<x<1,\\
0,&x\geqslant1,
\end{cases}$ 亦为不减函数，故亦成立；
对于(4)，由对称性不妨设 $a\geqslant b$。
若 $a+b\leqslant 2$，则原不等式显然成立；
若 $a+b>2$，则必有 $a>1$。若 $a>1\geqslant b$，则
\[\ln^+(a+b)\leqslant \ln^+a+\ln^+b+\ln2\iff \ln(a+b)\leqslant \ln a+\ln2
\iff a+b\leqslant 2a,\]
显然成立；若 $a\geqslant b>1$，则
\[\ln^+(a+b)\leqslant \ln^+a+\ln^+b+\ln2\iff \ln(a+b)\leqslant \ln a+\ln b+\ln2
\iff a+b\leqslant 2ab \iff a(1-b)+b(1-a)\leqslant 0,\]
亦显然成立。 |
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其妙
Posted at 2013-9-15 12:18:32
