来自人教群的椭圆小题，弦中垂线与长轴交点

kuing

\[\frac{QF}{FR}=\cos\angle QFR=\cos\angle N'NM=\frac{NN'-MM'}{MN}=\frac{FN-FM}{eMN}=\frac{2QF}{eMN}\riff
FR=\frac e2MN.
\]

其妙

资料：
教师-XYZ(33****41)  21:11:05

其妙

极坐标试一试：由对称性，不妨设$\angle NFR=\theta\in[0,\dfrac{\pi}{2}]$

设$|NF|=\rho_1=\dfrac{ep}{1-e\cos\theta}$，$|MF|=\rho_2=\dfrac{ep}{1+e\cos\theta}$，$|MN|=\rho_1+\rho_2=\dfrac{2ep}{1-e^2\cos^2\theta}$

则$|QF|=|MQ|-|MF|=\dfrac12(\rho_1+\rho_2)-\rho_2=\dfrac12(\rho_1-\rho_2)=\dfrac{e^2p\cos\theta}{1-e^2\cos^2\theta}$，

故$|FR|=\dfrac{|QF|}{\cos\theta}=\dfrac{e^2p}{1-e^2\cos^2\theta}=\dfrac e2|MN|$

其妙

设线段$|MN|$的中点$Q(x_0,y_0)$，则可求得$R(e^2x_0,0)$，因为$F(-c,0)$，故$|FR|=e^2x_0+c=e(ex_0+a)$，

而$|MN|=a+ex_1+a+ex_2=2a+e(x_1+x_2)=2(a+ex_0)$，

故$\dfrac{|FR|}{|MN|}=\dfrac e2$，即原命题成立。