来自人教群的椭圆题，过准线x轴交点作椭圆交弦对焦点等角

kuing

在 $y$ 轴方向上作拉伸变换，将椭圆变成圆，如图所示。

由条件及切割线定理得
\[PF\cdot PO=\left( \frac{a^2}c-c \right)\frac{a^2}c=\left( \frac{a^2}c \right)^2-a^2=\left( \frac{a^2}c-a \right)\left( \frac{a^2}c+a \right)=PM\cdot PN=PA'\cdot PB',\]
可见 $A'$, $B'$, $O$, $F$ 四点共圆，故此
\[\angle A'FM=\angle A'B'O=\angle B'A'O=\angle B'FN,\]
从而拉伸前亦有 $\angle AFM=\angle BFN$。

其妙

，

爪机专用

回复 2# 其妙
咋鸟??

其妙

回复 3# 爪机专用
这都能做啊？我以为你要用准线做呢，

kuing

回复 4# 其妙

话说群里也有人说

爱好者—520maths(9802*****)  17:08:46
几何关系可以秒杀

不知是怎样的

isee

在 $y$ 轴方向上作拉伸变换，将椭圆变成圆，如图所示。

由条件及切割线定理得
\
可见 $A'$, $B'$, $O$, $ ...
kuing 发表于 2014-2-4 17:49

还真不明白，y轴上的伸缩变换，为什么能保先前后角相等。

kuing

还真不明白，y轴上的伸缩变换，为什么能保先前后角相等。
isee 发表于 2014-2-14 15:11

一般来说，角是不保等的，但是这题是特殊情况，它们是跟 x 轴的夹角，所以变换前相等当且仅当变换后相等。

isee

由椭圆第二定义是可以的，估计说的纯几何就是下面吧：





\[\frac {BF}{FA}=\frac {e\cdot BD}{e \cdot AC}=\frac {BP}{PA}\]

$FP$为$\triangle BAF$的外角分线，由于未用到P，F，O三点花线，故，只要P在准线上，都成立。


圆锥曲线的几何性质之一，特别的，切线就是垂直了

kuing

回复 8# isee

soga，我这才想起来好像在哪里看到过这个（只要P在准线上……）

kuing

回复 9# kuing

果然，在 圆锥曲线的几何性质.pdf 的 P36 找到了

isee

回复 7# kuing

明白了

isee

回复 9# kuing


    主楼题特殊情况 角分线与x轴重合   高二时好多这样的拿来算……