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证明：用反证法，假设 $a+b<0$。
将已知等式展开为
\[\sqrt{1+a^2}\sqrt{1+b^2}+ab-1\geqslant -a\sqrt{1+a^2}-b\sqrt{1+b^2},\]
设 $f(x)=x\sqrt{1+x^2}$，显然为递增的奇函数，故此 $a+b<0\iff f(a)+f(b)<0$，可见上式右边为正，故此可将上式两边平方得
\[(1+a^2)(1+b^2)+(ab-1)^2-2\sqrt{1+a^2}\sqrt{1+b^2}\geqslant a^2(1+a^2)+b^2(1+b^2),\]
整理为
\[2(1-ab)-(a^2-b^2)^2\geqslant 2\sqrt{1+a^2}\sqrt{1+b^2},\]
然而
\[2(1-ab)-(a^2-b^2)^2\leqslant 2(1-ab)\leqslant 2(1+\abs{ab})\leqslant 2\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)},\qquad(*)\]
因此只能是
\[2(1-ab)-(a^2-b^2)^2=2\sqrt{1+a^2}\sqrt{1+b^2},\]
并且所有不等号应同时取等，考查式 (*) 的取等条件，易见为 $a^2=b^2$ 且 $ab\leqslant0$，即 $a+b=0$，与假设矛盾，故得证。 |
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其妙
发表于 2014-2-6 18:23
!，恒等变形厉害啊！