整系数三次方程的根的问题

hongxian

三次整系数多项式$f(x)=x^3+ax^2+bx-12$的图形与$x$轴交于相异两点$(m,0)$、$(n,0)$，其中$m$、$n$均为正有理数，求$a$的最大值。

kuing

首项系数为 $1$，故所有有理根都为整数根，依题意即 $m$, $n$ 都为正整数且 $mn^2=12$（或 $m^2n=12$ 不过没区别），下略。

hongxian

回复 2# kuing


    补上
$1+1+12=-a$或$2+2+3=-a$
所以$a=-13$或$a=-7$

其妙

回复 3# hongxian
解答配合的默契

爪机专用

其妙

不妨设$f(x)=x^3+ax^2+bx-12=(x-m)^2(x-n)$，其实设$f(x)=x^3+ax^2+bx-12=(x-m)(x-n)^2$也可以，
由于$f(0)=-12$，故得到$m^2n=12$或者$mn^2=12$，我也来默契一下
当然，韦达定理也是可行的。