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kuing
发表于 2014-3-11 16:56
呃，其实我也不懂质心系是神马，图中看不太懂，只会用两个守恒来玩，可能做复杂了，后面的化简有点麻烦。
（但是上面海x的图中看上去好像很简单就得到了，莫非这是质心系的优点？看来有必要学学看……）
由动量守恒有
\begin{equation}\label{cabians1}
m_1\bm u_1=m_1\bm v_1+m_2\bm v_2,
\end{equation}
由能量守恒有
\begin{equation}\label{cabians2}
m_1\bm u_1^2=m_1\bm v_1^2+m_2\bm v_2^2,
\end{equation}
因为 $\bm v_2$ 的方向能确定，故先消去 $\bm v_1$ 求 $\bm v_2$，式 \eqref{cabians1} 代入式 \eqref{cabians2} 整理得
\[m_1^2\bm u_1^2=(m_1\bm u_1-m_2\bm v_2)^2+m_1m_2\bm v_2^2,\]
由海x画的图有 $\bm u_1\cdot\bm v_2=\abs{\bm u_1}\abs{\bm v_2}\cos\phi$，故上式展开得
\[m_1^2\bm u_1^2=m_1^2\bm u_1^2-2m_1m_2\abs{\bm u_1}\abs{\bm v_2}\cos\phi+m_2^2\bm v_2^2+m_1m_2\bm v_2^2,\]
化简即得
\begin{equation}\label{cabians3}
\abs{\bm v_2}=\frac{2m_1\cos\phi}{m_1+m_2}\abs{\bm u_1},
\end{equation}
式 \eqref{cabians3} 代回式 \eqref{cabians2} 得
\[
%\begin{equation}\label{cabians4}
m_1\bm u_1^2=m_1\bm v_1^2+m_2\left(\frac{2m_1\cos\phi}{m_1+m_2}\right)^2\bm u_1^2,
%\end{equation}
\]
化简即得
\begin{equation}\label{cabians5}
\abs{\bm v_1}
=\sqrt{1-\frac{4m_1m_2\cos^2\phi}{(m_1+m_2)^2}}\abs{\bm u_1},
%=\frac{\sqrt{m_1^2+m_2^2-2m_1m_2\cos2\phi}}{m_1+m_2}\abs{\bm u_1},
\end{equation}
再由海x画的图知 $\bm v_1\cdot\bm v_2 =\abs{\bm v_1}\abs{\bm v_2}\cos(\phi+\theta)$，则式 \eqref{cabians1} 两边平方得
\[m_1^2\bm u_1^2=m_1^2\bm v_1^2+m_2^2\bm v_2^2+2m_1m_2\abs{\bm v_1}\abs{\bm v_2}\cos(\phi+\theta),\]
由式 \eqref{cabians2} 知上式可化简为
\[(m_1-m_2)\abs{\bm v_2}=2m_1\abs{\bm v_1}\cos(\phi+\theta),\]
故代入式 \eqref{cabians3}、\eqref{cabians5} 并令 $m_1=tm_2$ 得
\[
\cos(\phi+\theta)=\frac12\left(1-\frac{m_2}{m_1}\right)\frac{\abs{\bm v_2}}{\abs{\bm v_1}}=\frac{(t-1)\cos\phi}{\sqrt{(t+1)^2-4t\cos^2\phi}},
\]
即
\[\theta =\arccos \frac{(t-1)\cos \phi }{\sqrt{(t+1)^2-4t\cos^2\phi }}-\phi,\]
当 $t=1$ 时 $\theta =90\du-\phi$，当 $t\ne1$ 时，由恒等式
\[\tan (\arccos x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}x\]
可以计算出
\[\tan \left( \arccos \frac{(t-1)\cos \phi }{\sqrt{(t+1)^2-4t\cos^2\phi }} \right)=\frac{t+1}{t-1}\tan \phi,\]
于是
\[\tan \theta =\frac{\frac{t+1}{t-1}\tan \phi -\tan \phi }{1+\frac{t+1}{t-1}\tan^2\phi },\]
化简即得
\begin{equation}\label{cabians10}
\tan \theta=\frac{\sin 2\phi }{t-\cos 2\phi },
\end{equation}
当 $t=1$ 时也符合式 \eqref{cabians10}。 |
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icesheep
发表于 2014-3-11 06:49
”这样的东东
银家害羞啊......
