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isee
Posted 2022-2-5 22:19
源自知乎提问，终于把这个经典题补了三角过程。
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题：在 $\triangle ABC$ 中满足 $\frac {\cos A}{\sin B}+\frac {\cos B}{\sin A}=2$ （或 $\frac {\sin A}{\cos B}+\frac {\sin B}{\cos A}=2$，）则 $C=90^\circ.$
积化和差，和差化积
\begin{gather*} \frac {\cos A}{\sin B}+\frac {\cos B}{\sin A}=2\\[1em] \sin 2A+\sin 2B=4\sin A\sin B\\[1em] \sin (A+B)\cos(A-B)=-\cos (A+B)+\cos (A-B)\\[1em] (\sin C-1)\cos (A-B)=\cos C\\[1em] (1-\sin C)^2\cos^2 (A-B)=\cos^2 C=1-\sin^2 C, \end{gather*}
若 $\sin C=1,$ 则命题成立. 若 $\sin C\ne 1,$ 注意 $\cos^2 (A-B)\leqslant 1,$ 则
\begin{gather*} (1-\sin C)\cos^2 (A-B)=1+\sin C\leqslant 1-\sin C\\[1em] \Rightarrow {~}\sin C\leqslant 0. \end{gather*}
这与 $C$ 是三角形内角矛盾，综上所述，必有 $\sin C=1, $ 即 $C=\frac {\pi}2.$
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题中括号里的条件处理方式如上依照处理即可. |
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kuing
Posted 2014-3-15 18:30
居然没认出来.
