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设函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{\sqrt{x-a}}$，若 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上是增函数，则实数 $a$ 的取值范围是___________。
这道题是刚才网友问的，说是高一的，不让求导神马的，连双勾也不能用，好吧那就玩玩定义法。
\begin{align*}
f(x)-f(y)&=\frac{x+3}{\sqrt{x-a}}-\frac{y+3}{\sqrt{y-a}} \\
& =\frac{(x+3)\sqrt{y-a}-(y+3)\sqrt{x-a}}{\sqrt{x-a}\sqrt{y-a}} \\
& =\frac{(x+3)^2(y-a)-(y+3)^2(x-a)}{\bigl( (x+3)\sqrt{y-a}+(y+3)\sqrt{x-a} \bigr)\sqrt{x-a}\sqrt{y-a}} \\
& =\frac{(x-y)(xy-ax-ay-6a-9)}{\bigl( (x+3)\sqrt{y-a}+(y+3)\sqrt{x-a} \bigr)\sqrt{x-a}\sqrt{y-a}},
\end{align*}
因此我们需要 $xy-ax-ay-6a-9\geqslant 0$ 对任意 $x$, $y\geqslant 1$ 恒成立。分离参数等价于
\[a\leqslant \frac{xy-9}{x+y+6},\]
若 $xy\geqslant 3$，右边非负；若 $1\leqslant xy<3$，则由均值得
\[\frac{xy-9}{x+y+6}\geqslant \frac{xy-9}{2\sqrt{xy}+6} =\frac{\bigl(\sqrt{xy}+3\bigr)\bigl(\sqrt{xy}-3\bigr)}{2\sqrt{xy}+6} =\frac12\bigl(\sqrt{xy}-3\bigr)\geqslant -1,\]
当 $x=y=1$ 取等。
综上得 $a$ 的取值范围为 $(-\infty,-1]$。
咦？高一好像也没有均值哟，好吧那就再改写：
\[\frac{xy-9}{x+y+6}=\frac{xy-9}{\bigl(\sqrt x-\sqrt y\bigr)^2+2\sqrt{xy}+6}\geqslant \frac{xy-9}{2\sqrt{xy}+6}=\cdots\]
这样就够基本，也够无聊吧…… |
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其妙
Posted at 2013-9-19 15:07:02
，明显用沟好，学生的要求也太高了