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教师冯加明(1217*****) 15:25:08
KK看下这个问题，除了展开式，还有没有其他方法
题目：对任意实数 $x$，$(e^x+e^{-x})/2\leqslant e^{cx^2}$ 恒成立，求实数 $c$ 的条件。
又是一个不断求导的栗子。
设
\[f(x)=e^{cx^2}-\frac12(e^x+e^{-x}),\]
显然 $f(x)$ 为偶函数，故只需考虑 $x\geqslant 0$ 的情况即可。求导得
\begin{align*}
f'(x)&=2cxe^{cx^2}-\frac12(e^x-e^{-x}),\\
f''(x)&=2ce^{cx^2}(1+2cx^2)-\frac12(e^x+e^{-x}),
\end{align*}
假如 $f''(0)<0$，因为 $f'(0)=0$，则存在 $\veps>0$ 使得当 $x\in(0,\veps)$ 时恒有 $f'(x)<0$，又 $f(0)=0$，那么当 $x\in(0,\veps)$ 时将有 $f(x)<0$，此时不等式不成立，由此可见必须有 $f''(0)\geqslant 0$，即 $c\geqslant 1/2$。
而当 $c\geqslant 1/2$ 时，我们有
\[f''(x)=2ce^{cx^2}(1+2cx^2)-\frac12(e^x+e^{-x})\geqslant e^{x^2/2}(1+x^2)-\frac12(e^x+e^{-x}),\]
令
\[g(x)=e^{x^2/2}(1+x^2)-\frac12(e^x+e^{-x}),\]
求导得
\begin{align*}
g'(x)&=e^{x^2/2}x(3+x^2)-\frac12(e^x-e^{-x}),\\
g''(x)&=e^{x^2/2}(3+6x^2+x^4)-\frac12(e^x+e^{-x}),
\end{align*}
当 $0\leqslant x<1$ 时，有
\[g''(x)>3-\frac12(e+1)>0,\]
当 $1\leqslant x<2$ 时，有
\[g''(x)>10-\frac12(e^2+1)>0,\]
当 $2\leqslant x$ 时，有
\[g''(x)=e^x-\frac12(e^x+1)>0,\]
故对任意 $x\geqslant 0$ 都有 $g''(x)>0$，又 $g'(0)=0$，故 $g'(x)\geqslant0$，又 $g(0)=0$，故 $g(x)\geqslant 0$，所以 $f''(x)\geqslant g(x)\geqslant0$，又 $f'(0)=0$，故 $f'(x)\geqslant 0$，又 $f(0)=0$，故 $f(x)\geqslant 0$，所以此时不等式恒成立。
综上所述，$c$ 的取值范围是 $[1/2,+\infty)$。 |
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第一章
发表于 2014-3-17 21:20
