P为正五边形ABCDE外接圆弧EA上一点，求证PA+PC+PE=PB+PD

isee

回复 13# 乌贼


这辅助线，构得也很好，不过，实在不想看，眼都花了。

刚开始只看kuing的几何图以为是旋转构造，原来是构五边形！如三角形造三角形如出一辙，领会了一下，兄台第一平行也是神来之笔，而实际上也是构造了五边形！

改进之后的辅助图：（按此图要证明的是：PA+PD+PB=PE+PC；下图中将P与P'字母互换一下就与原图字母一致）





此图，和在前面说的作圆本质相同，但这里不用全等的说法，乃中心对称也！


具体操作如下：

以在圆上另取一点P'（点P'')，使线段PP'(线段PP''）等于正五边形的边长（AB边的长）。
由圆中正五边形，及弧与边的关系，容易得到AP'=PB=CP''，这个很关键。


以PP'中点为中心点，将整个图形中心对称，得正边形形A'B'C'D'E'及其外接圆，如图。

等腰梯形DEP'P与D'E'PP'是关于PP'的中点（即前面的对称中心）对称的，这表明E，P'，D'是共线的，D，P，E'亦是如此。

在虚线圆中P的位置与实线圆中的P是等价地位（这个说法，稍口语的，明白意思就成），即有PA'=P'B'。
进一步，PE=P'E'=PD'。

于是PE+PC=PD'+PC=CD'。(与前面一样，注意两等圆中，用等价位置转换相等线段，或者规范一点，等圆等弧推等线段。）

另一方面，PA+PD=P'A'+PD=PE'+PD=DE'=ED'。

连接EP''，交CD'于K，连CP''，还是由弧长关系，得$\angle P''=\angle CKP''=\angle D'KE=\angle D'EK$，实际均为$\dfrac {2\pi}5$。

这样，ED'=D'K，即$PA+PD=PE+PC-PB$，证毕。

kuing

刚开始只看kuing的几何图以为是旋转构造，原来是构五边形！如三角形造三角形如出一辙， ...
isee 发表于 2014-3-19 23:31

所以我在7#也说了受三角形时的启发

乌贼

回复 21# isee
碰到这类证线段和相等的问题，我喜欢把它们分别变成两线段后再证线段，所以说硬构。

isee

回复 22# kuing


睡了先，前面提到的（沿边）轴对称的方法与中心对称大同小异，不想发了，知道构造正五边形后……

kuing

正 7 边形，一样可证

这样，不难发现，正 2n-1 边形也是同理的。
因为由于总是对称地全等，在较小的正 2n-1 边形外的线段总是互相抵消掉，剩下里面的又对称性地相等，所以总是成立的。

kuing

可惜，估计这也不是我第一个想到的，想在平几何里玩出新东西，谈何容易

tommywong

解出每条对角线的比例后，用一次托勒密定理就有一个关系

$a_1^2=2r^2(1-cos\frac{2π}{n})$

$a_2^2=2r^2(1-cos\frac{4π}{n})$

$\frac{a2}{a1}=\frac{sin\frac{2π}{n}}{sin\frac{π}{n}}$

其妙

isee在12楼的解答看不见，isee总是能找些经典的几何题！

isee

回复 28# 其妙

换浏览器，或者开启IE视图兼容


有空你来写下三角函数的一般情况下的过程？其实主要是这种题比较平易近人，说难吧，想一总能解决，说简单吧，一时半会不会有结果，总之，平易近人

kuing

isee在12楼的解答看不见，isee总是能找些经典的几何题！
其妙 发表于 2014-3-20 13:15

进 archiver 版或许能看到 kuing.orzweb.net/archiver/?tid-2494.html

其妙

回复 30# kuing
真能看到了！
我还以为用的是复数呢？

realnumber

25.26楼的图太漂亮了，你真查证过不是第一个？
感觉上和一些数学大会会标一样了.

kuing

25.26楼的图太漂亮了，你真查证过不是第一个？
感觉上和一些数学大会会标一样了.
realnumber 发表于 2014-3-20 14:18

没查证过，不过这并不是很难想的东西，如无意外下我们以上的，尽管都是自己想，但都将是重新发现。

isee

回复 25# kuing



中心对称亦可以搞定7边形，虽然图形不那么好看，
核心是，中间大小两三角形都是等腰的，同色两三角形全等。
目标式为：$a_3+a_5-(a_2+a_4)=a_6-a_1-a_7$，

这里，$a_1,a_7$化到$a_6$上，用中心对称是容易看出来的。需要改进的是，最后一个同色三角形全等，太不“和谐”了。

isee

回复 5# kuing

正如前面所说，正五形的的顶点应该都是等同地位的，
故，将kuing的辅助线，适当修改，
改成－ 法（线段差）为 + 法（线段和），
个人更习惯些。

如图：先将三角形BPA绕点B顺时针旋转108度得到三角形BCP'，
由B，C，P，A四点共圆，知P'在PC延长线上，构造正五边形PBP'P''P'''，如图所示。

则 $PP'=PP'' \Rightarrow a_1+a_3=a_4+(a_2-a_5)\Rightarrow PA+PC+PE=PB+PD$。

这辅助线的真赞，kuing，这就是属于你的了。

isee

果然最长的边时最快速。

isee

回复 35# isee


    岂能厚此薄彼呢？向外转一样可以的。正五边形，总之需要三次旋转。

将加法做到底：$a_2+a_4=a_5+(a_1+a_3)$

isee

刹不住车了~

isee

特别的，如果正五边形和原正边形全等如何呢？
（即所作五边形不落在延长线上呢？）
即有轴对称了：



将五边形沿AB（理论上任何边均可）对称，得对称图形。
延长PA交对称圆于P'，直线P'B交圆于p''，交PC于F。

然后就同中心对称了。而且基本就是一样地

回头看看，以方法全部统一，构造正边形（常说构造正三角形，正方形的……）。

互此，止步了……

isee

几何画板真是对付复杂图形的利器，几何画板直观图形，省了不少事儿

最后，感谢大家积极响应，严重感谢各位！