一个解几题1

转化与化归

题：在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 上任取两点 $P_1\left(x_1, y_1\right), P_2\left(x_2, y_2\right)$ ，点 $P(x, y)$ 是以线段 $P_1 P_2$ 为直径的圆上任意一点，求证：$x^2+y^2 \leq \frac{3}{2} a^2+\frac{1}{2} b^2$

第一章

确定这题没错？
如果取$P_1$、$P_2$为长轴两个端点，那么当$P(\sqrt{a},\sqrt{a})$时，不等式好像不成立

kuing

确定这题没错？
如果取$P_1$、$P_2$为长轴两个端点，那么当$P(\sqrt{a},\sqrt{a})$时，不等式好像不成立 ...
第一章 发表于 2013-6-21 12:11

这个 P 不对啊……

kuing

我甚至怀疑有更强的 $x^2+y^2\leqslant a^2+b^2$

kuing

我甚至怀疑有更强的 $x^2+y^2\leqslant a^2+b^2$
kuing 发表于 2013-6-21 14:51

看图说话，不说细节了。
等号成立当且仅当 $KP_1$、$KP_2$ 为切线。

或者这样

反正就是这样，能看懂吧？

第一章

显然，我搞错了

第一章

一开始看到那个结论不对称，所以怀疑是出错。
我原来是这么想的：
以$P_1,P_2$为直径的圆的方程是$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$，
即$x^2+y^2-(x_1+x_2)x-(y_1+y_2)y+x_1x_2+y_1y_2=0$
故$x^2+y^2=(x_1+x_2)x+(y_1+y_2)y-(x_1x_2+y_1y_2)$
$\le \frac{1}{2}[(x_1+x_2)^2+x^2+(y_1+y_2)^2+y^2]-(x_1x_2+y_1y_2)$
即$x^2+y^2\le x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2\le 2a^2$.

转化与化归

回复 4# kuing
昨天在群里说了，但忘了把题目改一下！

kuing

回复 8# 转化与化归

噢，我没看到（是我不在的群？）
不过没关系了，反正现在也成了……

转化与化归

回复 9# kuing
确实是另一个群！不过看你的图只能是半懂，如果能写出代数证明就更好了！

kuing

回复 10# 转化与化归
代数证法不会。
呃，还是把上面的图说详细一点吧。
当 $P_1$、$P_2$ 取定时，显然当 $P$ 在 $K$ 处时 $x^2+y^2$ 最大，为 $OK^2$。

这时我们作两条切线，分别平行于 $KP_1$、$KP_2$，于是两切线垂直，由伴随圆的性质，两切线的交点必在伴随圆上，记此交点为 $J$（上面的图里忘记标出）。

另一方面，由于两切线必在 $\triangle KP_1P_2$ 外或与 $KP_1$、$KP_2$ 重合，必得 $OK\leqslant OJ$，又由伴随圆知 $OJ^2=a^2+b^2$。

综上，原不等式成立，等号成立当且仅当 $KP_1$、$KP_2$ 为切线。

转化与化归

回复 11# kuing
几何结构已经很清楚了，希望早日看到代数的解法，可能是三角换元和若干不等式的组合!

hongxian

关于伴随圆找到一个视频，大家参考。有点好奇，这个讲课的不知什么来历？
tudou.com/programs/view/Ggnle7RK7rI/

转化与化归

代数解法

kuing

回复 13# hongxian

这里有伴随圆问题及更一般夹角的推广 bbs.pep.com.cn/thread-283841-1-1.html

kuing

回复 14# 转化与化归

还真要用三角，证得不错。