一个数列题

转化与化归

数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 满足 $a_1=1, b_1=2,\left\{\begin{array}{l}a_{n+1}=\frac{1+a_n+a_n b_n}{b_n} \\ b_{n+1}=\frac{1+b_n+a_n b_n}{a_n}\end{array}\right.$ ，则 $\left[a_{2013}\right]=?$（$[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数）

睡神

猜测：$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=5$

其妙

猜测：$\lim_{n\to\infty}a_n=5$
睡神 发表于 2013-9-21 16:27

那么$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=$？？有极限吗？

睡神

回复 4# 其妙
感觉$b_n$发散…

kuing

回复 4# 其妙

若 $a_n$ 有极限，则 $b_n$ 必然发散，从 $(a_{n+1}+1)/(a_n+1)=(b_n+1)/b_n$ 就能看出这一点。

其妙

终于可以消掉$b_n$，剩下$a_{n+1}$和$a_n$的递推关系了，可惜是一个分式，分子是$a_n$的二次式，分母是$a_n$的一次式，使用不动点方法得出的根却是无理数，就没有信心往下运算了，运算量太大，我还常常算错，对我的运算不是很自信。

零定义

回复 7# 其妙
咋么我消去了$b_n$后有$a_{n+2}$出现...求贴一赏...

爪机专用

回复 8# 零定义

我也是, 而且很复杂。。。

睡神

$a_{n+1}+1=\dfrac{1+a_n+b_n+a_nb_n}{b_n}\riff \dfrac{1}{a_{n+1}+1}=\dfrac{b_n}{1+a_n+b_n+a_nb_n}$ ………… ①
$b_{n+1}+1=\dfrac{1+a_n+b_n+a_nb_n}{a_n}\riff \dfrac{1}{b_{n+1}+1}=\dfrac{a_n}{1+a_n+b_n+a_nb_n}$ ………… ②
①-②得：$\dfrac{1}{a_{n+1}+1}-\dfrac{1}{b_{n+1}+1}=\dfrac{1}{a_n+1}-\dfrac{1}{b_n+1}$所以$\dfrac{1}{a_n+1}-\dfrac{1}{b_n+1}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$
又$a_{n+1}=\dfrac{1+a_n+a_nb_n}{b_n}\riff \dfrac{1}{b_n+1}=1-\dfrac{a_n+1}{a_{n+1}+1}$
所以$\dfrac{1}{a_n+1}+\dfrac{a_n+1}{a_{n+1}+1}=\dfrac{7}{6}$令$c_n=a_n+1$，则$c_{n+1}=\dfrac{6c_n^2}{7c_n-6}$
由$a_{n+1}=\dfrac{1+a_n+a_nb_n}{b_n}=\dfrac{1+a_n}{b_n}+a_n>a_n$，有$c_{n+1}>c_n$
所以$c_{n+1}=\dfrac{6c_n^2}{7c_n-6}>c_n$，解得：$c_n<6$暴力计算前八项可知，$c_8>5$
所以当$n\ge 8$时，有$5<c_n<6$即当$n\ge 8$时，有$4<a_n<5$所以$[a_{2013}]=4$

睡神

回复 10# 睡神
注：关键步骤由其妙老师指导所得！

kuing

回复 11# 睡神

次奥！这个倒数作差再裂项太牛笔了！
后面不用看了，就前三步，足够欣赏了

睡神

回复 12# kuing
关键三步都是其妙提示的…所以说这根本不是我解的…

其妙

回复 10# 睡神
居然求的是取整符号啊？
我还去求通项了，还有那个数列$\{c_n\}$的不动点法，得到的不动点是$0或6$，等价于数列$\{a_n\}$的不动点$-1$和$5$，我那时怎么算出来是无理数，计算不过关啊！
原来和单调有界数列有极限是有关的，所以用了取整函数。。。。

睡神

回复 14# 其妙
额…是其妙老师你对这种菜题不放在眼里而已…

Tesla35

又一道类似题：
see
tieba.baidu.com/p/2593906937
大家练手
模仿睡神

其妙

回复 16# Tesla35
数列搜神！
把那边的此题解答复制过来，$\{\dfrac1{a_n+1}\}$的递推是一个二次非线性递推 没有解析的通项公式表达
\[
\begin{aligned}
& a_n=\frac{b_n+1}{b_{n+1}-b_n}, b_n=\frac{a_n+1}{a_{n+1}-a_n} \\
& \Rightarrow a_n+1=\frac{b_{n+1}+1}{\left(b_{n+1}+1\right)-\left(b_n+1\right)}, b_n+1=\frac{a_{n+1}+1}{\left(a_{n+1}+1\right)-\left(a_n+1\right)} . \\
& \Rightarrow b_{n+1}+1=\left(a_n+1\right)\left(b_{n+1}+1\right)-\left(a_n+1\right)\left(b_n+1\right), a_{n+1}+1=\left(b_n+1\right)\left(a_{n+1}+1\right)-\left(a_n+1\right)\left(b_n+1\right) . \\
& \Rightarrow\left(a_{n+1}+1\right)-\left(b_{n+1}+1\right)=\left(b_n+1\right)\left(a_{n+1}+1\right)-\left(a_n+1\right)\left(b_{n+1}+1\right) . \\
& \text { 又: }\left(a_n+1\right)-\left(b_n+1\right)=\frac{b_{n+1}+1}{\left(b_{n+1}+1\right)-\left(b_n+1\right)}-\frac{a_{n+1}+1}{\left(a_{n+1}+1\right)-\left(a_n+1\right)} \\
& =\frac{\left(b_n+1\right)\left(a_{n+1}+1\right)-\left(a_n+1\right)\left(b_{n+1}+1\right)}{\left[\left(b_{n+1}+1\right)-\left(b_n+1\right)\right] \cdot\left[\left(a_{n+1}+1\right)-\left(a_n+1\right)\right]}=\frac{\left(a_{n+1}+1\right)-\left(b_{n+1}+1\right)}{\left[\left(b_{n+1}+1\right)-\left(b_n+1\right)\right] \cdot\left[\left(a_{n+1}+1\right)-\left(a_n+1\right)\right]} . \\
& \text { 另有: }\left(a_n+1\right)\left(b_n+1\right)=\frac{\left(a_{n+1}+1\right) \cdot\left(b_{n+1}+1\right)}{\left[\left(b_{n+1}+1\right)-\left(b_n+1\right)\right] \cdot\left[\left(a_{n+1}+1\right)-\left(a_n+1\right)\right]} .
\end{aligned}
\]
故两式作比有：
\[
\begin{aligned}
& \frac{\left(a_n+1\right)-\left(b_n+1\right)}{\left(a_n+1\right) \cdot\left(b_n+1\right)}=\frac{\left(a_{n+1}+1\right)-\left(b_{n+1}+1\right)}{\left(a_{n+1}+1\right) \cdot\left(b_{n+1}+1\right)} \Rightarrow \frac{1}{a_{n+1}+1}-\frac{1}{b_{n+1}+1}=\frac{1}{a_n+1}-\frac{1}{b_n+1} \\
& =\frac{1}{a_1+1}-\frac{1}{b_1+1}=\frac{1}{5}-\frac{1}{30}=\frac{1}{6} . \\
& \therefore \frac{1}{a_n+1}=\frac{\left(b_{n+1}+1\right)-\left(b_n+1\right)}{b_{n+1}+1}=1-\frac{\frac{1}{a_{n+1}+1}-\frac{1}{\frac{1}{6}}-\frac{1}{a_n+1}=\frac{1}{a_n+1}-\frac{1}{a_{n+1}+1}}{\frac{1}{a_n+1}-\frac{1}{6}} \\
& \Rightarrow \frac{1}{a_{n+1}+1}=-\frac{1}{\left(a_n+1\right)^2}+\frac{7}{6\left(a_n+1\right)} \cdot a_1=4 .\left(n \inN^*\right)
\end{aligned}
\]

kuing

回复 17# 其妙

之前他到处mark题就是这样用的啊……

其妙

回复 18# kuing
哦，看来我也要mark了

Tesla35

回复 17# 其妙

咦？你怎么粘的这个帖子。
应该是下面的图片啊：

其妙

回复 20# Tesla35
特殊解法与一般解法