来自人教群的 $f(f(x))=1/x$

kuing

教师—C++(9802*****)  21:28:44
$\displaystyle f(f(x))=\frac1x$ 这个函数方程求解

话说，可不可以 $f(x)=x^i$ ？这里的 $i$ 是虚数单位

嘛，我知道你们肯定不能接受，那就换一个：
\[
f(x)=\begin{cases}
-x,&x>0,\\
-\frac1x,&x<0.
\end{cases}
\]
自己验证之……

kuing

不知还没有别的类型，到你们玩了……

PS、像 $f(x)=\begin{cases}
x^2,&x<0,\\
-\frac1{\sqrt x},&x>0,
\end{cases}$ 之类的也算是1#的类型……

kuing

没人玩？

将1#变一下：
\[
f(x)=\begin{cases}
-x,&(x>0\wedge x~\text{为有理数})\vee(x<0\wedge x~\text{为无理数})\\
-\frac1x,&(x<0\wedge x~\text{为有理数})\vee(x>0\wedge x~\text{为无理数}).
\end{cases}
\]
这样大概就在任何地方都不可导了……

kuing

再续楼上：
那个虽然不可导，但仍然有两个地方连续，那就是在 $(1,-1)$ 和 $(-1,1)$ 两点处连续，于是再改一下：
\[f(x)=\begin{cases}
x,&x=\pm1,\\
-x,&(x>0\wedge x\ne1\wedge x~\text{为有理数})\vee(x<0\wedge x~\text{为无理数})\\
-\frac1x,&(x<0\wedge x\ne-1\wedge x~\text{为有理数})\vee(x>0\wedge x~\text{为无理数}).
\end{cases}\]
也就是挖空那两点，这样就没有任何一个地方连续了。

够无聊了我

其妙

回复 4# kuing
你要构造狄利克雷函数嗦？
以后就命名为kuing函数了

007

我把楼主的题目稍加改变一下，看能否解决：
是否存在定义在某区间上$I$内的连续函数，使得$f(f(x))$为单调递减(这里是指大学课本中的严格单调递减)函数？若存在，证明之，并构造满足题设条件的一函数；若不存在，请举出反例或证明之。

pxchg1200

回复 6# 007


    显然不存在，由$f(f(x))=\frac{1}{x}$可以看到$f(x)$是一个单射，而如果$f(x)$是连续的，那么必有严格的单调性，若$f$单调增，那么$f(f(x))$也必然会单调增，若$f$单调减，那么$f(f(x))$还是严格单调增，而$\frac{1}{x}$毫无疑问是单调递减的,所以是没连续解的

007

回复 7# pxchg1200


    Very Good !