函数周期

lrh2006

各位，请帮我举个例子，周期函数，但是没有最小正周期。谢谢!

isee

常数函数

lrh2006

回复 1# lrh2006


    我知道了，问这样的问题别打我啊，有了问题第一个想到的就是来这里。kuing你帮我把帖子删了吧，我删不了

lrh2006

回复 2# isee


    谢谢。顺便问下，狄利克雷函数周期是几？，任意正数还是正有理数？

isee

回复 3# lrh2006


    为什么要删呢，很好的问题。易与难是相对的，不知为难，知为易。

isee

回复  isee


    谢谢。顺便问下，狄利克雷函数周期是几？，任意正数还是正有理数？ ...
lrh2006 发表于 2016-6-3 23:10

任意非零有理数。

lrh2006

回复 6# isee


    好的，谢谢你噢

hbghlyj

知乎 @予一人​ 的回答

利用反证法。

设 $f(x)$ 是连续周期函数，考察其所有正周期组成的集合 $P.$ 由于 $P$ 非空且有下界，于是依确界原理， $P$ 必有下确界，记这下确界为 $\alpha.$ 由于 $P$ 中无最小元素，所以 $P$ 必是无穷集，于是必可于其中分选出单调递减收敛于 $\alpha$ 的子列 $\{p_n\}.$

再置 $q_n:=p_{n}-p_{n+1},$ 显然所有 $q_n$ 也都是 $f(x)$的周期，且 $q_n\to0.$ 于是对任意的 $\delta>0,$ 必可求得某个 $T\in \{q_n\}$ 使得 $0<T<\delta.$

请注意：定义在 $\mathbb{R}$ 上的连续周期函数必定一致连续，于是对任意的 $x,y,$ 只要 $|x-y|<\delta,$ 就有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon.$ 又总能求得整数 $k$ 使得 $|(x+kT)-y|<\delta,$ 于是 $|f(x)-f(y)|=|f(x+kT)-f(y)|<\varepsilon,$ 再依 $\varepsilon>0$ 的任意性，这只能是 $f(x)=f(y),$ 与函数非常值矛盾。

hbghlyj

颜怀曾[20]指出,任一非常值的连续周期函数$f(x)$必有最小正周期.郑格于[13]进一步指出,若非常值的周期函数$f(x)$至少有一个连续点,则$f(x)$必有最小正周期.因此,没有最小正周期的非常值周期函数必定是无处连续的.
13. 一个处处不连续的非常值周期函数, 它具有最小正周期.
我们知道, 没有最小正周期的非常值的周期函数必定是处处不连续的 (参看例 12 的注). 然而, 我们也容易作出一个处处不连续的非常值周期函数, 它具有最小正周期. 例如, 设
$$
f(x)= \begin{cases}1, & 2 n \leqslant x<2 n+1 \text { 且 } x \text { 为无理数, } \\ -1, & 2 n \leqslant x<2 n+1 \text { 且 } x \text { 为有理数, } \\ 2, & 2 n+1 \leqslant x<2(n+1) \text { 且 } x \text { 为无理数, } \\ -2, & 2 n+1 \leqslant x<2(n+1) \text { 且 } x \text { 为有理数, }\end{cases}
$$
这里, $n$ 为整数. 显然, $f(x)$ 的最小正周期是 2 , 它是一个处处不连续的函数.
14. 存在一个没有最小正周期的周期函数, 它的值域是可数集.
令 $f(x)= \begin{cases}n, & x \text { 为 } n(n \geqslant 1) \text { 次的既约有理方程的根, } \\ 0, & x \text { 为超越数. }\end{cases}$
可以证明对任意有理数 $r$ 有 $f(x+r)=f(x)$.
设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是 $n$ 次的既约有理方程
$$
a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n=0
$$
的根, 则可构造一 $n$ 次有理方程使 $\alpha_1+r, \alpha_2+r, \cdots, \alpha_n+r$ 是它的根, 并且可以