周期性

guanmo1

定义数列 $\an: a_1=3, a_{i+1}=3^a(i \inN)$ ，问从 00 到 99 中，哪些是无限多个 $a_i$ 的十进制表示式的最后两个数字？

战巡

回复 1# guanmo1


这里用$b_n$表示$a_n$的最末两位数字好了，即$b_n=a_n \mod 100$
首先观察得到，$3^n \mod 100$遵循每$20$一循环，即$3^n \mod 100=3^{n+20} \mod 100$，也就是我们只需要考察$b_n \mod 20$的值即可知道$b_{n+1}=3^{a_n} \mod 100$的值
而且由于$20$只关乎最后两位，也很容易得到$b_n \mod 20=a_n \mod 20$，因此直接观察$b_n$会简单的多

于是我们首先观察前面几项
$a_1=b_1=3$，$b_1 \mod 20=3$
$a_2=b_2=3^3=27$，$b_2 \mod 20=7$
$a_3 \mod 100=b_3=3^{b_2 \mod 20} \mod 100=3^7 \mod 100=87$
于是又有$b_3\mod 20=7$，后面就循环了
所以呢，$b_1=3, b_2=27, b_n=87，n\ge 3$

guanmo1

谢谢！

chudengshuxue

战巡 发表于 2018-5-5 00:03
也就是我们只需要考察$b_n \mod 20$的值即可知道$b_{n+1}=3^{a_n} \mod 100$的值

数论白痴表示这一步没看明白。