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[哈欠] 无聊发个贴，话说刚才看到人教群又出现折线距离了……
爱好者-高中(7015***) 13:50:14
2014杭州市一模
这个题目怎么接
解
爱好者-何万程(1785***) 14:12:02
又在翻炒折线距离
爱好者-高中(7015***) 14:13:12
杭州市一模的17题
Admin-kuing<kuingggg@******> 14:13:43
几年前就玩厌了
就不能来点新意……
Admin-kuing<kuingggg@******> 14:15:22
bbs.pep.com.cn/thread-886603-1-1.html
bbs.pep.com.cn/thread-909404-1-1.html
……
懒得翻了
爱好者-何万程(1785***) 14:16:21
其实很简单，只要计算下一定点到直线的折线距离的最小值就很容易了
爱好者-何万程(1785***) 14:17:23
定点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0上点折线距离的最小值是
|Ax0+By0+C|/(max(|A|,|B|))
跟普通距离就差一个常数系数
结论如何得来的，其实几年前就在人教群说过，不过没说很详细，我也懒得找记录了，下面来扯扯。
我们先从直观看看，当 $P(x_0,y_0)$ 为定点时，设常数 $K>0$，点 $Q(x,y)$ 满足 $d(P,Q)=\abs{x-x_0}+\abs{y-y_0}=K$ 的轨迹如何？
不难画出，是这样的一个正方形：
于是，如果 $P(x_0,y_0)$ 为定点，$Q(x,y)$ 为定直线 $l$ 上的动点，那么 $d(P,Q)$ 的最小值就很容易看出来了，有两类情况：
也就是说，根据 $l$ 的斜率，就能找到取最小值的点 $Q$。具体地，设 $l:Ax+By+C=0$ （$A$, $B$ 不同为 $0$），则：
（1）若 $\abs{A}\geqslant \abs{B}$，则当 $Q$ 与 $P$ 的纵坐标相同时 $d(P,Q)$ 取最小值，此时 $Q\bigl(-(By_0+C)/A,y_0\bigr)$，故 $d(P,Q)_{\min}=\abs{x_0+(By_0+C)/A}=\abs{Ax_0+By_0+C}/\abs{A}$；
（2）若 $\abs{A}\leqslant \abs{B}$，则当 $Q$ 与 $P$ 的横坐标相同时 $d(P,Q)$ 取最小值，此时 $Q\bigl(x_0,-(Ax_0+C)/B\bigr)$，故 $d(P,Q)_{\min}=\abs{y_0+(Ax_0+C)/B}=\abs{Ax_0+By_0+C}/\abs{B}$。
综上，即得
\[d(P,Q)_{\min}=\frac{\abs{Ax_0+By_0+C}}{\max\{\abs{A},\abs{B}\}}.\]
特别地，若 $\abs{A}=\abs{B}$ 且 $P$ 在 $l$ 外时，则有无数个点 $Q$ 使 $d(P,Q)$ 取最小值（也就是正方形与直线重合的那条边）。
以上推理依赖直观，为了严格起见，下面用代数方法再推一遍。
设 $P(x_0,y_0)$ 为定点，$Q(x,y)$ 为定直线 $l:Ax+By+C=0$（$A$, $B$ 不同为 $0$）上的动点，则：
（1）若 $\abs{A}\geqslant \abs{B}$，则
\begin{align*}
d(P,Q)&=\abs{x-x_0}+\abs{y-y_0}\\
&=\left|\frac{By+C}{A}+x_0\right|+\abs{y-y_0}\\
&\geqslant \left|\frac{By+C}{A}+x_0\right|+\frac{\abs{B}}{\abs{A}}\abs{y-y_0}\\
&=\left|\frac{By+C}{A}+x_0\right|+\left|\frac{By-By_0}{A}\right|\\
&\geqslant \left|\frac{By+C}{A}+x_0-\frac{By-By_0}{A}\right|\\
&=\left|\frac{Ax_0+By_0+C}{A}\right|,
\end{align*}
当 $Q\bigl(-(By_0+C)/A,y_0\bigr)$ 时取等号；
（2）若 $\abs{A}\leqslant \abs{B}$，则
\begin{align*}
d(P,Q)&=\abs{x-x_0}+\abs{y-y_0}\\
&=\abs{x-x_0}+\left|\frac{Ax+C}{B}+y_0\right|\\
&\geqslant \frac{\abs{A}}{\abs{B}}\abs{x-x_0}+\left|\frac{Ax+C}{B}+y_0\right|\\
&=\left|\frac{Ax-Ax_0}{B}\right|+\left|\frac{Ax+C}{B}+y_0\right|\\
&\geqslant \left|-\frac{Ax-Ax_0}{B}+\frac{Ax+C}{B}+y_0\right|\\
&=\left|\frac{Ax_0+By_0+C}{B}\right|,
\end{align*}
当 $Q\bigl(x_0,-(Ax_0+C)/B\bigr)$ 时取等号。
所以同样也得到
\[d(P,Q)_{\min}=\frac{\abs{Ax_0+By_0+C}}{\max\{\abs{A},\abs{B}\}}.\]
再看回原题，直观地看，画个图
由上述结论，也就是要求蓝色线段长的最小值，于是显然当 $P$ 在第一象限且切线平行于直线时取最小，然后就是要计算切点了。
当然，我们仍然可以用代数去处理，设 $P(x_0,y_0)$，则 $x_0^2/2+y_0^2=1$，由柯西不等式得
\[(3x_0+4y_0)^2\leqslant \left(\frac{x_0^2}2+y_0^2\right)(18+16)=34,\]
故由上述结论，代入数据得
\[d(P,Q)\geqslant \frac14\abs{3x_0+4y_0-12}\geqslant \frac14\bigl(12-\sqrt{34}\bigr)=3-\frac{\sqrt{34}}4,\]
当 $P\bigl(\sqrt{18/17},\sqrt{8/17}\bigr)$, $Q\bigl(\sqrt{18/17},3-9/\sqrt{136}\bigr)$ 时取等。 |
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其妙
发表于 2014-4-1 18:37
青青子衿
发表于 2015-7-27 19:31
