《数学通讯》(学生刊)2014年第4期数学问题173

其妙

blog.sina.com.cn/s/blog_5618e6650101qqba.html
173．若满足 $a b c=1$ 的任意正实数 $a, b, c$ 使不等式 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{\lambda}{a+b+c} \geqslant 9$ 恒成立，求正实数 $\lambda$ 的最小值。
（712000 陕西省成阳师范学院基础教育课程研究中心 安振平 供题）
\[
\begin{aligned}
& \because \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \leq \sqrt[3]{a b c}=1 \Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq 3 \\
& \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq 9-\frac{\lambda}{a+b+c} \equiv 3 \\
& \Rightarrow \frac{\lambda}{a+b+c}=6 \Leftrightarrow \lambda=6(a+b+c) \geq 6 \times 3 \sqrt[3]{a b c}=18 \\
& \Rightarrow \lambda_{\min }=18, a=b=c=1 \text { 取得 }
\end{aligned}
\]
博文后的这个解法对不对？

kuing

这解法显然是错的，逻辑混乱。

安振平怎么会在学生刊提这样的问题？结果比想象中要复杂。

其妙

回复 2# kuing
我也觉得，那个$\lambda<9$，怎么可能为18？
似乎和什么竞赛题相关？在旧论坛似乎有相关的链接？

kuing

回复 3# 其妙

here it is kkkkuingggg.haotui.com/viewthread.php?tid=850 假如我的猜想成立，本题的结果要从第二种情况里面解出来。

其妙

回复 4# kuing
膜拜k神！

踏歌而来

需要指出的是，题目出错也正常。
有一省高考压轴题的答案出了错，我还没来得及公布。
希望出题时多一点细心。

注：
根据后面Kuing的提示，反观这里的推理，发现错误之处在于将前后
两个有联系的东西割裂开来，没有顾及a、b、c的取值对前后都有影响。

$如果将题目变成\frac{λ}{a+b+c}≥6那就没有解了。$

kuing

回复 6# 踏歌而来

又一混乱的逻辑。

另外，题目并没有出错，我也从没说过题目出错，只是答案很复杂。

踏歌而来

回复 7# kuing


    假定题目是对的，那么这个λ是多少呢？

kuing

回复 8# 踏歌而来

它是方程 $x^3 - 24x^2 - 537x + 11881 = 0$ 的最大根，约为 $28.04$。

其妙

回复 9# kuing
那$\lambda=18$如何证明？

kuing

回复 10# 其妙

28.04...是 $\lambda$ 的最小值，$\lambda=18$ 当然是不成立的了。

其妙

回复 11# kuing
哦，，看见你写的最大根，开黄腔了，

kuing

就上面那个例子 a=1,b=2,c=1/2 就可以知道 $\lambda=18$ 不成立。

其妙

回复 13# kuing
但是安正平居然把那个图片传到他的博客，莫非他认为18是对的？

kuing

回复 14# 其妙

说不定他自己算的答案也是 18，呵呵……于是以为很简单，不然他也不会将这种问题发到学生刊

踏歌而来

好像取24也行，我运算了10多个，没有遇到不满足的。
当然我不是证明，只是猜想。
可以举出24不能满足的a、b、c数对吗？

其妙

回复 16# 踏歌而来
如果你能举出，那么你就推翻了kk的结论了

kuing

回复 16# 踏歌而来

a=1/3,b=1/3,c=9

kuing

回复 17# 其妙

？？？能举出说明 24 是不行的，跟我说的没矛盾哟

kuing

如果你有软件，可以试试代入 a=7/20, b=7/20, c=400/49 ，可以得到 $\lambda=28$ 也不成立。当然，你愿意的话，手算也可以……