单位正方形内的三角形内切圆半径

realnumber · 发表于 2014-4-10 22:11

本帖最后由 realnumber 于 2014-4-10 22:17 编辑 Funar猜想.JPG

常用不等式第四版本．

画了下图形，就是这个，B是边的中点．可是怎么证２０２呢？
Funar猜想-1.JPG

realnumber · 发表于 2014-4-10 23:10

本帖最后由 realnumber 于 2014-4-10 23:20 编辑 QQ截图20140410230938.jpg

若ΔDEG有一顶点G不在边上，延长EG交正方形的边于F点，容易得ΔDEG的内心H到边DE的距离$r_1$,即为内接圆半径，小于ΔDEF的内心K到DE的距离．
如此说明了，要证1楼成立，只要证三角形三顶点在边上的条件下成立即可．

isee · 发表于 2014-4-11 09:00

本帖最后由 isee 于 2014-4-11 09:09 编辑 1984年的，应该有定论了吧

PS：从一个方向上看就是面积与周长的比，涉及太多知识，偶是搞不定的庞大的几何极值题。

搜索一下，果然有结果，供参考

blog.sina.com.cn/s/blog_a329360c0101f8xw.html

其妙 · 发表于 2014-4-11 12:35

回复 3# isee
1984年的什么题？IMO？

kuing · 发表于 2014-4-11 14:01

由于可以扩展到边界上，于是这题就没有想象中那么难了……

isee · 发表于 2014-4-11 17:50

回复 5# kuing

没办法，不等式天才就是这样子……

realnumber · 发表于 2014-4-11 21:41

回复 5# kuing
有没简单的几何办法，进一步说明一个或2个顶点应该移到正方形的顶点．

realnumber · 发表于 2014-4-12 07:20

回复 4# 其妙

《常用不等式》第四版

realnumber · 发表于 2014-4-12 07:44

本帖最后由 realnumber 于 2014-4-12 07:53 编辑 QQ截图20140410230938.jpg

继续2楼，以下证明总可以使得三角形一顶点在正方形顶点上．
三顶点都在边上，若分别在三条边上，假设都不在顶点上，如图总可以平移三角形，使得三角形一顶点正方形顶点重合，再按２楼变形，如此得到了，三点都在边上，至少一点在顶点上．
当三顶点在２边上时，这个办法依然成立

realnumber · 发表于 2014-4-12 07:46

回复 3# isee

不可能吧，远比我知道得多．

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[几何] 单位正方形内的三角形内切圆半径