函数图象问题的再探讨

踏歌而来

01 函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则（）

   A f(x)是偶函数       B f(x)是奇函数
   C f(x)=f(x+2)      D f(x+3)是奇函数

显然题设的条件 f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，就是一种广义的奇函数，
因为 狭义的奇函数 是指 f(x)是奇函数的一种情况；同时这里的f(x+1)
与f(x-1)分别表示的是向右移动和向左移动后的图象，而不是f(x)的恒等变换。

这样，我们按 广义的奇函数理解，我们就很容易写出如下两个等式：
f(x+1)=-f(-x+1)
f(x-1)=-f(x-1)
即函数关于(1,0）及(-1,0)对称。
如果按奇函数的狭义定义，那这道题就是错误的，也就没有上述的等式。

换句话说，广义的奇函数或偶函数，只是表示一种普通的对称关系。
广义的奇函数 是 一种  关于 除原点外的某一点 对称 的函数，
广义的偶函数 是 一种  关于 除y轴外的平行于y轴的某条直线对称 的函数。

函数f(x)的图象关于点(1,0)及点(-1,0)对称，
从而周期T=2[1-(-1)]=4是函数f(x)的一个周期。
这个推论可能难以理解。
也可以这样：
$∵f(x+1)=-f(-x+1) \Rightarrow f(x+3)=-f(-x-1)   $(x用x+2代替）
$   f(x-1)=-f(-x-1)$
$∴f(x+3)=f(x-1) \Rightarrow  f(x+4)=f(x)$
$∴ f(x)的周期是4，C是错误的。$

$∵f(x+3)=f(x-1),f(x-1) =-f(-x-1)$
$∴f(x+3)=-f(-x-1)$
$又-f(-x-1)=-f(-x-1+4)=-f(-x+3)$
$∴f(x+3)=-f(-x+3)$
$∴f(x+3)是奇函数，D正确。$

$由于推不出 f(x)=f(-x)，也推不出f(x)=-f(-x)，$
$所以A、B都错误。$

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显然，我们这里判断奇偶性，是根据两种情况进行的：
如果判断f(x)奇偶性得根据狭义定义；
如果判断f(x+a)(a≠0)奇偶性得根据广义定义。


如果f(x)是奇函数，那么f(x+a)是广义奇函数，但不一定是狭义奇函数。
f(x)的对称点在原点，f(x+a)的对称点在(a,0)点。

如果f(x)=x，那么 f(x+1)=？
依然是 两个答案：
f(x+1)=x+1  恒等变换，
f(x+1)=x      向右平移。

如果f(x)的定义域是【0,10】，那么f(x+1)的定义域是什么？
定义域是[1,11]。

如果f(x)是奇函数，那么f(x+1)是否是奇函数？
按广义定义，f(x+1)当然是奇函数，
但按狭义奇函数定义，就不一定了。
凡没有特别指出的，都按照狭义定义判断。
因此，比较保险的回答是：不一定。

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定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）+f（x）=0，且函数f（x+1）为奇函数，对于下列命题：
①函数f（x）是以T=2为周期的函数；
②函数f（x）的图象关于点（1，0）对称；
③函数f（x）的图象关于直线x=2对称；
④函数f（x）的最大值为f（2）；
⑤f（2013）=0．

http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/1df3ff97-77a9-4f3d-8aea-94e5f59b9133

正确答案应该是 ③ 和⑤。

错误的原因在于对f(x+1)是奇函数的意义以及 f(x)与f(x+1)的区别不了解。

再看一题：
已知函数f（x+1）是奇函数，则函数f（x-1）的图象关于 ______对称．
http://www.mofangge.com/html/qDetail/02/g0/201401/u0dhg002508888.html
正确答案是 (-1,0)。

昨天看了各地模拟题12题，其中3题题目本身有错，还有一题答案错。
有空时发上来，并做一点说明。

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先补充一下21楼答案：
21楼中少选了一个答案。

01 函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则（）

   A f(x)是偶函数       B f(x)是奇函数
   C f(x)=f(x+2)      D f(x+3)是奇函数

我们知道：
1、凡是有对称中心的函数就是奇函数，凡是有对称轴的函数就是偶函数。
2、对称中心是（0,0）的即为常规的奇函数，对称轴是y轴的函数就是常规偶函数。

∵ f(x+1)是奇函数，可设g(x)=f(x+1),根据奇函数的定义则有g(-x)=f(-x+1)，g(x)=-g(-x)
∴ f(x+1)=-f(-x+1)。
上式表示两个点的对称的集合。

当图象向左移动一个单位时，就是这两个点的集合同时向左移动一个单位。
所以f(x+1-1)=-f(-x+1-1)
即 f(x)=-f(-x)
∴ f(x)是奇函数。

同理可证 f(x+3)也是奇函数。
也就是说，21楼中的f(x+1)是奇函数，f(x-1)是奇函数，只要保留一个就可以推知
f(x)、f(x+3)是奇函数了。

用直线举例，不太看得出来，因为任何一条直线都有无穷多个对称中心。
每个对称中心(x0,y0)的两边的对称点(x1,y1)、(x2,y2)，都满足
x1+x2=2x0,y1+y2=2y0

后面我将举两个曲线的例子。
一般情况下，每个曲线函数只有一个对称中心或有限个对称中心，除非是周期函数。

用21楼的方法也可证f(x+3)是奇函数。

所以 这个答案应该是 B 和 D。

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如果f(x+1)是奇函数关于什么对称？f(x)又是关于什么对称？

我画了两张图。


f（x+1）奇函数


f（x）函数

从图一中我们可以看出f(x+1)奇函数的对称中心是(1,0)。
从图二中我们可以看出f(x)是奇函数，对称中心是（0,0）。

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上楼的图片就回答了23楼所述的 两道题的答案是错误的原因。

其实，我们也可以通过推理得到其对称点：

根据24楼的推理：
f(x+1)是奇函数，则有 f(x+1)=-f(-x+1)
令x=0时就有f(1)=-f(1)，2f(1)=0，所以f（1）=0，即对称中心是(1,0)。

f(x+1)向左移动一个单位，就有f(x+1-1)=-f(-x+1-1)，即f(x)=-f(-x)。
即f(x)是奇函数，f(0)=0，对称中心是（0,0），也是教科书的定义。

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再发两个 偶函数的图片。



f(x+1)偶函数，对称轴是x=1


f(x)函数，显然是偶函数，对称轴是x=0（y轴）

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y=f(x+1)的定义域为[-2,3],则y=f(2x+1)的定义域为?

解：
y=f(x+1)的定义域为[-2,3],
即y=f(x+1)中，-2≤x≤3
-1≤x+1≤4
所以y=f(x)的定义域为[-1,4]
所以y=f(2x+1)的-1≤2x+1≤4
解出：  -1≤x≤3/2
所以y=f(2x+1)的定义域为[-1,3/2]

这里我们看到，所有求定义域的题目，都是按恒等变换的方式来求的。
按这种方式，自变量表达式的范围始终不变，不管是单个字母，还是字母的表达式。
x+1与2x+1指向同一段函数，作图时以x+1,f(x+1)和 2x+1,f(2x+1)方式描点。
所以  由定义域[-2,3]，得出x+1的范围为[-1,4]
也就是说，  2x+1也应该是[-1,4]，这样就能求得此时的x的范围，即x的定义域为[-1,3/2]。

自变量表达式的取值范围始终不变是恒等变换的基本规律，都指向平面直角坐标系内的同一段曲线。

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前面我们已经说过，f(x)=x的定义域为[-2,2],
然后f(x+2)的定义域为[0,4]。
这是 平移变换。

如果按照 恒等变换 ，那就是 x+2也为 [-2,2],
则 f(x+2)的定义域为[-4,0]。

$如果f(x)的定义域为 [-2,2]，$
$则f(x+1)的定义域为 ：$
$x$∈ [0,4]     平移变换
$x$∈[-2,2]     恒等变换

除非特别说明，一般情况下，求定义域都是指恒等变换时的定义域。

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已知f(x)是R上的偶函数，若将f(x)的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象。若f(2)=-1，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2011)=___________

前面说了奇函数移动了后还是奇函数，用直线看不出来，用线段就可以看出来了。


还有一种图象既有偶函数特征，又有奇函数特征，那就是正弦函数和余弦函数。


解：
由题意知，f(x)=f(-x)，f(x+1)=-f(-x+1)，
∴令x=0则可得f(1)=0，从题意可知它是f(x)上的点，不是f(x+1)上的点。
又由f(x)=f(-x)得 f(x+1)=f(-x-1) (恒等变换)
∴ f(-x-1)=-f(-x+1)
将x用-x-1代替，则有f(x)=-f(x+2)。
∴ f(x+2)=-f(x+4)
∴ -f(x)=-f(x+4)，即f(x)=f(x+4)
∴ f(3)=f(-1)=f(1)=0，f(4)=f(0)=-f(2)=1
所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0+(-1)+0+1=0
即在一个周期上的和为0.
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2011)=f(1)+f(2)+f(3)=-1。

本题的参考图象，就是上面的正余弦函数图象。
f(x+1)既像奇函数，关于（0,0）对称，又像偶函数，关于x=1对称。

依据f(x+1)是奇函数所获得的f(1)=0，不是自身的，而是f(x)的，
从图象中可以看出。也就是说，当f(x)与f(x+1)的奇偶性不一致时，
根据f(x+1)的奇偶性所推导出来的东西是指的f(x)图象所具有的特性。

综上所述，正弦函数  或是 余弦函数，都有对称轴，都有对称点，既有偶函数的特征，又有奇函数的特征。
当我们说f(x+1)是奇函数或偶函数时，要根据具体的语境，既可能指的是自身，也可能指的是f(x)。
单独说f(x+1)奇偶性时，毫无疑问，是针对自身而言的。