一个向量题2

转化与化归

已知 $\triangle A B C$ 的外心为 $O$，三条高为 $A D, B E, C F$，则 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{E F}+\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{F D}+\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{D E}$ 的值为

第一章

正△，$0$

转化与化归

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答案很明显，主要是怎么证。

其妙

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答案很明显，主要是怎么证。
转化与化归 发表于 2013-9-21 21:52

参看2011MO第二试第一题平几题第（1）问，太简单了。
可用向量法或者平几法。
每个加数均为0.

Tesla35

$EFBC$四点共圆，
$\angle AFE=\angle ACB$
因为$\angle ACB+\angle BAO=90^\circ$
所以$\angle AFE+\angle BAO=90^\circ$
所以$OA\perp EF$
所以$\vv{OA}\cdot\vv{EF}=0$

其妙

参看2011MO第二试第一题平几题第（1）问，太简单了。
可用向量法或者平几法。
每个加数均为0. ...
其妙 发表于 2013-9-21 22:53

证法一：作直径COK，则
而A、C、D、F四点共圆，
∴  
∴  
∴  ，同理
证法二：过C点作△ABC外接圆的切线CT，
则CT⊥OC
∵ A、B、D、E四点共圆，
∴  
∵   
∴    ∴ CT∥DE
∵ CT⊥OC，∴ OC⊥DE，同理，OB⊥DF
证法三：（解析法）：以BC为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，设A（0，a），B（b，0），C（c，0），设O点（u，v），将A、B、C坐标代入⊙O方程

第一章

其妙写的什么？

其妙

回复 7# 第一章
那是以前做的几种解法，可惜用的是公式编辑器，不能复制，但是幸好还幸存了辅助线的作法，可以参考。

转化与化归

回复 5# Tesla35
简洁明了，好！

转化与化归

回复 6# 其妙
方法多！

isee

$EFBC$四点共圆，
$\angle AFE=\angle ACB$
因为$\angle ACB+\angle BAO=90^\circ$
所以$\angle AFE+\angl ...
Tesla35 发表于 2013-9-21 23:05

这三组垂直还真是用得少呢，这图总让我想起证三高线交一点……

第一章

利用外心证明垂心？

isee

回复 12# 第一章


嗯

其妙

回复 10# 转化与化归
还有向量法呢？难打公式，就不打了，见中等数学2011第6期吧

走走看看

中等数学2011第6期没有看到这道题的向量证明。

思考了很长时间，还是找不到联系点。
请大神们提供一下用向量证明的思路。

其妙

回复 15# 走走看看
又挖坟

走走看看

回复 16# 其妙

最近集中时间看了论坛的向量题，受益良多。
对于不懂的东西总想搞清楚。

有没有可能出题人，有意让答题者把向量积为0，解读为平面几何的垂直关系，而用向量本身没法解答？

游客

这个O可以是空间任意一点，这题出的不好，单求一个才有意思。

走走看看

回复 18# 游客

大神，该你出场了。
$能不能证出\vv {AO}⋅\vv{EF}=0就全看你了。$

走走看看

佩服游客大师的是，一般人容易受到别人的影响，能不受别人的影响的人是神。如果我不看前面各楼的讨论，我可能会尝试把这三个一起处理。正是因为大家的讨论，给我的感觉就是必须分而治之，压根没试过把它们放在一起考虑。这是一种从众心理，也可以说惯性思维。

    看过Kuing大师的kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread& … t=%E5%90%91%E9%87%8F ，K把看着不顺眼的G先处理掉，这里游客是把看着不驯服的O先处理掉。有异曲同工之妙。

    O点对于三部分的和来说，只要闭环就行，在空中也无所谓，从游客的解答中可以看出。不过，若单独算的话，这个O必须是符合条件的点，即O在三角形的外心上，或过外心的垂直于三角形所在面的直线才行。