$\displaystyle(1+\frac{1}{2!})(1+\frac{1}{3!})...(1+\frac{1}{n!})$

tommywong

证明：
$e-1<lim_{n\to\infty}\displaystyle(1+\frac{1}{2!})(1+\frac{1}{3!})...(1+\frac{1}{n!})<2$
（左边已被kuing证明）

其妙

回复 1# tommywong
如何证明的呀？

kuing

回复 1# tommywong

我在群里写错了啊

kuing

右边，保留第一项用均值
\[\left( 1+\frac1{2!} \right)\left( 1+\frac1{3!} \right)\cdots \left( 1+\frac1{n!} \right)<\frac32\left( 1+\frac{\frac1{3!}+\frac1{4!}+\cdots +\frac1{n!}}{n-2} \right)^{n-2}<\frac32\left( 1+\frac{e-\frac1{0!}-\frac1{1!}-\frac1{2!}}{n-2} \right)^{n-2}<\frac32e^{e-5/2},\]
右边的值约为1.8659

其妙

回复 4# kuing
在办公室，不敢开qq，尤其不敢开粉丝群，你懂的，，

kuing

左边是多余的，$(1+1/2!)(1+1/3!)=7/4>e-1$

tommywong

$\displaystyle(\frac{3}{2})(\frac{7}{6})(\frac{25}{24})(1+e-1-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}-\frac{1}{24})\approx 1.84105$

$\displaystyle(\frac{3}{2})(\frac{7}{6})(\frac{25}{24})e^{e-1-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}-\frac{1}{24}}\approx 1.84114$

realnumber

右边不等式证明，保留2项，第三项开始利用$\ln{(1+x)}\le x$放缩
只需要证明
\[\ln{\frac{3}{2}}+\ln{\frac{7}{6}}+\frac{1}{2\times{3}\times{4}}+\frac{1}{3\times{4}\times{5}}+\cdots+\frac{1}{(n-2)\times{(n-1)}\times{n}}\le{\ln{2}}\]
\[而\frac{1}{2\times{3}\times{4}}+\frac{1}{3\times{4}\times{5}}+\cdots+\frac{1}{(n-2)\times{(n-1)}\times{n}}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2\times3}-\frac{1}{(n-1)n})<\frac{1}{12}\]
\[那么只需要证明\ln{\frac{3}{2}}+\ln{\frac{7}{6}}+\frac{1}{12}<\ln2\]
经过计算器验证$\ln{\frac{8}{7}}-\frac{1}{12}=0.05019\cdots$成立．
或利用这个帖子的３楼forum.php?mod=viewthread&tid=2517&extra=page=1
$\ln x\geqslant\dfrac{2(x-1)}{x+1}(x\geqslant1)$