大家都来写一些关于 $\ln x$ 的不等式

kuing

我先来写两个，今天用到的
\begin{align*}
\ln x&\leqslant x-1,\forall x>0,\\
\ln x&\geqslant\frac12\left(x-\frac1x\right),\forall 1\geqslant x>0 \text{（$x>1$ 时反向）},
\end{align*}

kuing

和第二个有点类似的
\[\ln x\geqslant 1-\frac1x, \forall x>0,\]
但其实它和第一个等价

其妙

为了不食言，也为了凑数，所以重复了上面的一些不等式，甚至是一些等价的不等式，但是在导数压轴题的最后一问数列的放缩的时候可能会用到的不等式：
请检查有无输入错误、推导错误等
1、$\ln(x+1)\leqslant x(x>-1)$

2、$e^x\geqslant x+1(x\in R)$

3、$\ln x\geqslant\dfrac{2(x-1)}{x+1}(x\geqslant1)$

4、$\ln x\leqslant\dfrac{2(x-1)}{x+1}(0<x\leqslant1)$

5、$\ln x\leqslant\dfrac{1}{2}(x-\dfrac1x)(x\geqslant1)$

6、$\ln x\geqslant\dfrac{1}{2}(x-\dfrac1x)(0<x\leqslant1)$

7、$\ln (1+x)\geqslant x-\dfrac{x^2}{2}(x\geqslant0)$

kuing

thanks 大家继续啊

战巡

回复 1# kuing

泰勒展开式就可以提供很多这方面的东西啊........

\[\ln(1+x)<\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k},  -1<x<0\]
\[\ln(1+x)\le \sum_{k=1}^{2n+1}(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k},  x\ge 0\]
\[\ln(1+x)\ge \sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k},  x\ge 0\]

kuing

回复 5# 战巡


分式的也整整看

realnumber

$y=\ln{x}$在$x=x_0$处的切线，$y=\frac{1}{x_0}(x-x_0)+\ln{x_0}$，则有$\frac{1}{x_0}(x-x_0)+\ln{x_0}\ge \ln{x}$．

即为$\frac{x}{x_0}-1\ge \ln{x}-\ln{x_0}=\ln{\frac{x}{x_0}}$,也即$t-1\ge \ln t,其中t=\frac{x}{x_0}$.

也是由切线得到,$\ln{\ln{x}}\le\frac{x}{e}-1$．

isee

变式：$\ln x < \dfrac {x-1}{\sqrt x},x>1$

kuing

变式：$\ln x < \dfrac {x-1}{\sqrt x},x>1$
isee 发表于 2014-3-26 10:48

嗯，这个跟1#第二个等价。曾经在这里用过 kkkkuingggg.haotui.com/viewthread.php?tid=760#pid3991

其妙

回复 3# 其妙
这里有关于第5条的一个应用：“对数—几何平均不等式”（海盗）
kkkkuingggg.haotui.com/viewthread.php?tid=354

还有，关于第4条的一个应用（kuing）：
kkkkuingggg.haotui.com/thread-314-1-1.html，

等待hxh

我今天看到了一个更水的题

kuing

回复 11# 等待hxh

你回错贴了

其妙

这里还有些关于$\ln x$的不等式：blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0101jp07.html(绵阳三诊)
\[\ln t\leqslant\dfrac{t-1}{\sqrt t}{\kern 4pt}(t\geqslant1)\]
若记$\sqrt t=u\geqslant1$，则$2\ln u\leqslant\dfrac{u^2-1}{u}=u-\dfrac{1}{u}$，即：\[\ln u\leqslant\dfrac12(u-\dfrac{1}{u}) {\kern 5pt}      (u\geqslant 1)\]

其妙

不等式$\ln (1+x)\geqslant x-\dfrac{x^2}{2}(x\geqslant0)$的一个应用（2012天津）：
blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0101jp07.html（文末2012天津）

kuing

thinks, goon

其妙

回复 15# kuing

其妙

这里的证明：blog.sina.com.cn/s/blog_5618e6650101eu7f.html

链剑心

$\ln(x)>0$

青青子衿

回复 18# 链剑心
不是要解不等式，而是证明不等式！

realnumber

模拟卷上一题目．
$f(x)=x\ln x$,0<a<b,求证：$a\ln a+b\ln b<b-a+(a+b)\ln{\frac{a+b}{2}}$．
证明：设$x=\frac{b-a}{2},y=\frac{b+a}{2},y>x>0$，
那么所证明不等式化为
\[(y-x)\ln{(y-x)}+(y+x)\ln{(y+x)}<2x+2y\ln{(y)}\]
利用$\ln(1+t)\le t$，可得$\ln{(y-x)}=\ln (y(1-\frac{x}{y}))<\ln y-\frac{x}{y},\ln{(y+x)}<\ln y+\frac{x}{y}$．以下略．