一道二模考试导数题的第二问

其妙

已知函数 $f(x)=(x^2-a x+a) e^x-x^2, a \inR$ ．
（I）设函数 $g(x)=\frac{f(x)}{x}$，当 $a=0$ 时，讨论 $g(x)$ 的单调性：
（II）若函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极小值，求 $a$ 的取值范围．

战巡

回复 1# 其妙


这有难度？
\[f''(0)=-a>0\]
然后验证$a=0$时没戏，所以$a<0$

其妙

回复 2# 战巡
，不用二阶导数怎么做？

战巡

回复 3# 其妙


............
你们就非要给自己找麻烦么......

其妙

回复 4# 战巡
，这是中学题呀，中学没学二阶导。
验证$a=0$没戏是必不可少的步骤吧，

踏歌而来

楼上，我在网上给你找了个答案：

f(x)=(x^2-ax+a)e^x-x^2,a∈R.
f'(x)=(2x-a+x^2-ax+a)e^x-2x=x[(x+2-a)e^x-2],
f(x)在x=0处取得极小值,
∴f'(x)在x=0的两侧的值异号(左负右正)，
即g(x)=(x+2-a)e^x-2在x=0的邻域内为正，
g'(x)=(x+3-a)e^x,g(0)=-a,g'(0)=3-a,
∴a的取值范围是{a|a<0}.

不过，红色的两句话不懂。

如果你看懂了，请解释一下。

http://zhidao.baidu.com/link?url=0oeSamPgzFNb1_3qLNnphPG5pRjRBPVSmP0z2HXZnN0O8J7_fMOaI-4Q_Ey-zkdFIMEBK4EflWJ3xv6wVPYBaF2bKufuUZQihwITyvHL5Qi

其妙

回复 6# 踏歌而来
需要$g(x)=(x+2-a)e^x-2$在$x=0$的充分小邻域$(-\delta,\delta)$内为正，
由连续函数的保号性知，只需$g(0)=-a>0$即可。然后验证$a=0$ 时没戏，所以$a<0 $
∴$a$的取值范围是$\{a|a<0\}$.
$g'(x)=(x+3-a)e^x$，$g(0)=-a\ne g'(0)=3-a$，
上面的似乎可以不要？

realnumber

回复 5# 其妙


    分两次求，第一次求导后，设$g(x)=f'(x)$，再来一次，就可以说是高中办法了．其实就是战巡给的办法

其妙

传一下命题人的解答：
（1）$g(x)=x e^x-x \quad \therefore g'(x)=(x+1) e^x-1$．
显然当 $x<0$ 时，$g'(x)<0, g'(0)=0$ ，当 $x>0$ 时，$g'(x)>0$，
$\therefore g(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单减，在 $(0,+\infty)$ 上单增.

（ii）$f'(x)=\left(x^2+(2-a) x\right) e^x-2 x=x\left[(x+2-a) e^x-2\right]$，令 $h(x)=(x+2-a) e^x-2$．则 $h'(x)=(x+3-a) e^x$ ，$\therefore h(x)$ 在 $(-\infty, a-3)$ 上单减，在 $(a-3,+\infty)$ 上单增，
而 $h(a-3)=-e^{a-3}-2<0$ ．所以 $h(x)$ 与 $x$ 轴有两个不同的交点，不站记为 $x_1, x_2(x_1<x_2)$，若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极小值，则 $h(x)$ 在包含 0 的某个区间内恒正，即 $0<x_1$ 或 $x_2<0$，所以 $h(0)>0$，即 $(2-a)-2>0 \therefore a<0$.

其妙

回复 9# 其妙
命题人的解答有没问题？
能不能优化？

君无戏言

回复 5# 其妙

有二阶导的

其妙

回复  其妙

有二阶导的
君无戏言 发表于 2014-5-2 14:31

教材版本不同？省份不同？

踏歌而来

不用追究二阶导数的问题，你只要按照一阶导数去解释，而不是按凹凸性去解释就可以了。
以“战巡”方式也可以，但欠缺一个解释。不管是哪里的教材，只要有一阶导数的支持就可以了。
添加一个解释，到底怎么解释好呢？ 我去网上查一下电子教材。看教材上怎么说。

我给你的那个链接中的回答，是对的，把画蛇添足的部分去掉就可以了。

其妙

回复 13# 踏歌而来

看过原标答没有？

踏歌而来

这个标准答案，你刚贴上那会儿，我就看过，但没有仔细看。
答案中特别研究了h(x)=(x+2-a)e^x-2，其实，这个函数有否零点都不重要，
比如这个函数最小值大于零时就没有零点，此时，h(x)>0.
依然能够使得在x>0时，xf(x)>0；x<0时，xf(x)<0。
特别是研究了以后，也没有能说明它同h(0)>0有什么关系，更是显得岂有此理。

你看答案可不可以这么写？

f(x)=(x^2-ax+a)e^x-x^2,a∈R.
f'(x)=x[(x+2-a)e^x-2]，
要使f(x)在x=0处取得极小值，
就必须使得在x=0附近，f'(x)左负右正。
即在x=0附近，在x<0时，必须使得h(x)=(x+2-a)e^x-2>0，才能使f'(x)<0，负正得负；
x>0时，也必须h(x)=(x+2-a)e^x-2>0，才能使f'(x)>0，正正得正。
所以，必须使得h(x)=(x+2-a)e^x-2在x=0附近包括x=0处大于零。
因此h(0)>0，即(2-a)-2>0，
所以a的取值范围是{a|a<0}。

其妙

回复 15# 踏歌而来
我和你的想法差不多，只是将你的$x=0$附近改成了$\delta$-邻域,
将$h(0)>0$改成了用连续函数的保号性来解释。